Bài 27: Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, – z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\,z = r\left( {\cos \varphi + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)
\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i.\)
\(\eqalign{ & a)\,\overline z = r\left( {\cos \varphi – i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( { – \varphi } \right) + i\sin \left( { – \varphi } \right)} \right) \cr & – z = – r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right) \cr & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr & k.z = kr\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0 \cr & kz = – kr\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\)
\(= 2\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z = 2\left( {\cos \left( { – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right)} \right)\)
\( – z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\)
\({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
\(\eqalign{ & kz = 2k\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0 \cr & kz = – 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 28: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
\(\eqalign{
& a)\,\,1 – i\sqrt 3 ;\,\,1 + i;\,\,(1 – i\sqrt 3 )(1 + i);\,\,{{1 – i\sqrt 3 } \over {1 + i}}; \cr
& b)\,\,2i\left( {\sqrt 3 – i} \right); \cr
& c)\,\,{1 \over {2 + 2i}}; \cr
& d)\,\,z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R) \cr} \)
\(\eqalign{
& a)\,\,1 – i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr&= 2\left( {\cos \left( { – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right)} \right);\,\,\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,(1 – i\sqrt 3 )(1 + i) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr
& = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right)} \right).\cr&\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} – {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr
& {{1 – i\sqrt 3 } \over {1 + i}}\cr& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { – {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr
& b)\,\,2i = 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt 3 – i} \right) = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}i} \right)\cr& = 2\left[ {\cos \left( { – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr
& \,\,\,\,\,\,\,2i\left( {\sqrt 3 – i} \right) \cr&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} – {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr
&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& c)\,\,2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { – {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& d)\,z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr&= \,\cos \left( {{\pi \over 2} – \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} – \varphi } \right)(\varphi \in \mathbb R) \cr} \)
Bài 29: Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính
\(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)
Giải
Advertisements (Quảng cáo)
Theo nhị thức Niu-tơn ta có:
\({\left( {1 + i} \right)^{19}} = (C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^2} + … + C_{19}^{16}{i^2} \)
\(+ C_{19}^{18}{i^2}) + (C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + … + C_{19}^{19})\)
Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)
Mặt khác:
\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr&= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr
& = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { – {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = – {2^9} + {2^9}i \cr
& \Rightarrow C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18} =- {2^9} \cr&= – 512. \cr} \)
Bài 30: Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\,z’ = \left( {3 – \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\)
a) Tính \({{z’} \over z};\)
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\). Tính số đo đó.
\(a)\,{{z’} \over z} = {{\left[ {3 – \sqrt 3 + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i} \right]\left( {3 – i} \right)} \over {10}} = 1 + \sqrt 3 i\)
b) Xét tia Ox thì ta có: \(sđ\left( {OM,OM’} \right) = sđ\left( {Ox,OM’} \right) – sđ\left( {Ox,OM} \right)\)
\( = \varphi ‘ – \varphi = acgumen{{z’} \over z}\) (sai khác \(k2\pi \))
(trong đó \(\varphi \) và \(\varphi ‘\) theo thứ tự là acgumen của z và z’).
Từ đó do \({{z’} \over z} = 1 + \sqrt 3 i\) có acgumen là \({\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\), nên góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\) có số đo \({\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
