Câu 33: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:
a) \(\sqrt {{x^2} – 4} + 2\sqrt {x – 2} \);
b) \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} – 9} \).
a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} – 4} + 2\sqrt {x – 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\({x^2} – 4 \ge 0\) và \(x – 2 \ge 0\)
Ta có: \({x^2} – 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x – 2) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr
x – 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 2 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x + 2 \le 0 \hfill \cr
x – 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – 2\)
\(x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)
Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 4} + 2\sqrt {x – 2} \cr
& = \sqrt {(x + 2)(x – 2)} + 2\sqrt {x – 2} \cr}\)
\(= \sqrt {x – 2} .\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\)
b) Ta có: \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} – 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} – 9 \ge 0\)
Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
\({x^2} – 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x – 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 3 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Advertisements (Quảng cáo)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x + 3 \le 0 \hfill \cr
x – 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – 3 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – 3\)
Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{
& 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} – 9} \cr
& = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x – 3)} \cr} \)
\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x – 3} } \right)\)
Câu 34: Tìm x, biết:
a) \(\sqrt {x – 5} = 3\);
b) \(\sqrt {x – 10} = – 2\);
c) \(\sqrt {2x – 1} = \sqrt 5 \);
d) \(\sqrt {4 – 5x} = 12\).
a) \(\sqrt {x – 5} = 3\) điều kiện: \(x – 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\sqrt {x – 5} = 3 \Leftrightarrow x – 5 = 9 \Leftrightarrow x = 14\)
b) \(\sqrt {x – 10} = – 2\) điều kiện: \(x – 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10\)
Vì \(\sqrt {x – 10} \ge 0\) nên không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x – 10} = – 2\)
\(\sqrt {2x – 1} = \sqrt 5 \) điều kiện: \(2x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0,5\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2x – 1} = \sqrt 5 \Leftrightarrow 2x – 1 = 5 \cr
& \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3 \cr} \)
d) \(\sqrt {4 – 5x} = 12\) điều kiện: \(4 – 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {4 \over 5}\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {4 – 5x} = 12 \Leftrightarrow 4 – 5x = 144 \cr
& \Leftrightarrow – 5x = 140 \Leftrightarrow x = – 28 \cr} \)
Câu 35
Với n là số tự nhiên, chứng minh:
\({(\sqrt {n + 1} – \sqrt n )^2} = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} – \sqrt {{{(2n + 1)}^2} – 1} \)
Viết đẳng thức trên khi n bằng 1, 2, 3, 4.
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right)^2} \cr
& = n + 1 – 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr
& = 2n + 1 – 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
\(\eqalign{
& = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} – \sqrt {{{(2n + 1)}^2} – 1} \cr
& = \left| {2n + 1} \right| – \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 – 1)} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2n + 1 – \sqrt {2(n + 1)2n} \cr
& = 2n + 1 – \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2n + 1 – \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr
& = 2n + 1 – 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
– Với n = 1, ta có: \({\left( {\sqrt 2 – \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9 – \sqrt 8 \)
– Với n = 2, ta có: \({\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25} – \sqrt {24} \)
– Với n = 3, ta có: \({\left( {\sqrt 4 – \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49} – \sqrt {48} \)
– Với n = 4, ta có: \({\left( {\sqrt 5 – \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81} – \sqrt {80} \)
Câu 3.1: Giá trị của \(\sqrt {1,6} .\sqrt {2,5} \) bằng:
(A) 0,20 ;
(B) 2,0 ;
(C) 20,0 ;
(D) 0,02;
Hãy chọn đáp án đúng.
Chọn (B)
