Câu 27: Rút gọn:
a) \({{\sqrt 6 + \sqrt {14} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt {28} }}\);
b) \({{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\).
a) \(\eqalign{
& {{\sqrt 6 + \sqrt {14} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt {28} }} = {{\sqrt {2.3} + \sqrt {2.7} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt 4 .\sqrt 7 }} \cr
& = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)} \over {2\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
b) \(\eqalign{
& {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} \cr
& = {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + 4} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} \cr} \)
\(= {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 + \sqrt 4 + \sqrt 6 + \sqrt 8 } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\)
\( = {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right) + \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\)
\(= {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} = 1 + \sqrt 2 \)
Câu 28: So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi):
a) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và \(\sqrt {10} \);
b) \(\sqrt 3 + 2\) và \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \);
c) 16 và \(\sqrt {15} .\sqrt {17} \);
d) 8 và \(\sqrt {15} + \sqrt {17} \).
a) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và \(\sqrt {10} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt 6 + 3 \cr
& = 5 + 2\sqrt 6 \cr} \)
\({\left( {\sqrt {10} } \right)^2} = 10 = 5 + 5\)
So sánh \(2\sqrt 6 \) và 5:
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \({\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 4.6 = 24\)
\({5^2} = 25\)
Vì \({\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} < {5^2}\) nên \(2\sqrt 6 < 5\)
Vậy:
\(\eqalign{
& 5 + 2\sqrt 6 < 5 + 5 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} < {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \cr
& \Rightarrow \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt {10} \cr} \)
b) \(\sqrt 3 + 2\) và \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \)
Ta có:
\({\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} = 3 + 4\sqrt 3 + 4 = 7 + 4\sqrt 3 \)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt {12} + 6 \cr
& = 8 + 2\sqrt {4.3} = 8 + 2.\sqrt 4 .\sqrt 3 = 8 + 4\sqrt 3 \cr} \)
Vì \(7 + 4\sqrt 3 < 8 + 4\sqrt 3 \) nên \({\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} < {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2}\)
Vậy \(\sqrt 3 + 2\) < \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \)
c) 16 và \(\sqrt {15} .\sqrt {17} \)
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \sqrt {15} .\sqrt {17} = \sqrt {16 – 1} .\sqrt {16 + 1} \cr
& = \sqrt {(16 – 1)(16 + 1)} = \sqrt {{{16}^2} – 1} \cr} \)
\(16 = \sqrt {{{16}^2}} \)
Vì \(\sqrt {{{16}^2} – 1} < \sqrt {{{16}^2}} \) nên \(16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \)
Vậy \(16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \).
d) 8 và \(\sqrt {15} + \sqrt {17} \)
Ta có: \({8^2} = 64 = 32 + 32\)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} = 15 + 2\sqrt {15.17} + 17 \cr
& = 32 + 2\sqrt {15.17} \cr} \)
So sánh 16 và \(\sqrt {15.17} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {15.17} = \sqrt {(16 – 1)(16 + 1)} \cr
& = \sqrt {{{16}^2} – 1} < \sqrt {{{16}^2}} \cr} \)
Vì \(16 > \sqrt {15.17} \) nên \(32 > 2\sqrt {15.17} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& 64 > 32 + 32 + 2.\sqrt {15.17} \cr
& \Rightarrow {8^2} > {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} \cr} \)
Vậy \(8 > \sqrt {15} + \sqrt {17} \).
Câu 29: So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi):
\(\sqrt {2003} + \sqrt {2005} \) và \(2\sqrt {2004} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} = 4.2004 \cr
& = 4008 + 2.2004 \cr} \)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2} \cr
& = 2003 + 2\sqrt {2003.2005} + 2005 \cr} \)
\( = 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \)
So sánh 2004 và \(\sqrt {2003.2005} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2003.2005} \cr
& = \sqrt {(2004 – 1)(2004 + 1)} \cr
& = \sqrt {{{2004}^2} – 1} < \sqrt {{{2004}^2}} \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& 2004 > \sqrt {2003.2005} \cr
& \Rightarrow 2.2004 > 2.\sqrt {2003.2005} \cr} \)
\( \Rightarrow 4008 + 2.2004 > 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \)
\( \Rightarrow {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} > {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2}\)
Vậy \(2\sqrt {2004} > \sqrt {2003} + \sqrt {2005} \).
