Câu 7.1: Giải các phương trình
a) \({x^4} – 2{x^3} + 3{x^2} – 2x – 3 = 0\)
b) \(5 – \sqrt {3 – 2x} = \left| {2x – 3} \right|\)
a)
\(\eqalign{
& {x^4} – 2{x^3} + 3{x^2} – 2x – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} – 2x – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + 2x\left( {x – 1} \right) – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right]^2} + 2.x\left( {x – 1} \right) – 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(x\left( {x – 1} \right) = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 3 = 0\) có dạng \(a + b + c = 0\)
\(1 + 2 + \left( { – 3} \right) = 0 \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ – 3} \over 1} = – 3\)
Với t1 = 1 ta có: \(x\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x – 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 1} \right)^2} – 4.1.\left( { – 1} \right) = 1 + 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{1 – \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 – \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với t2 = -3 ta có: \(x\left( {x – 1} \right) = – 3 \Leftrightarrow {x^2} – x + 3 = 0\)
\(\Delta = {\left( { – 1} \right)^2} – 4.1.3 = 1 – 12 = – 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 – \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \(5 – \sqrt {3 – 2x} = \left| {2x – 3} \right|\) điều kiện \(3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)
\( \Rightarrow 5 – \sqrt {3 – 2x} = 3 – 2x\) đặt \(\sqrt {3 – 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(5 – t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t – 5 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {1^2} – 4.1.\left( { – 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {t_1} = {{ – 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} – 1} \over 2} \cr
& {t_2} = {{ – 1 – \sqrt {21} } \over {2.1}} = – {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \)
\({t_2} = – {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {3 – 2x} = {{\sqrt {21} – 1} \over 2} \cr
& \Rightarrow 3 – 2x = {{21 – 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 12 – 8x = 22 – 2\sqrt {21} \cr
& \Leftrightarrow 8x = 12 – 22 + 2\sqrt {21} \cr
& \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} – 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} – 5} \over 4} \cr} \)
Phương trình có 1 nghiệm: \(x = {{\sqrt {21} – 5} \over 4}\)
Câu 7.2: Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x – 1} – {m^2} + 6m – 11 = 0\)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
a) Khi m = 2 ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x – 1} – 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt \(\sqrt {x – 1} = t \Rightarrow t \ge 0;x + 2\sqrt {x – 1} – 3 = 0 \Leftrightarrow x – 1 + 2\sqrt {x – 1} – 2 = 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 2 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.\left( { – 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 3 \cr
& {t_1} = {{ – 1 + \sqrt 3 } \over 1} = – 1 + \sqrt 3 \cr
& {t_2} = {{ – 1 – \sqrt 3 } \over 1} = – \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \)
\({t_2} = – \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {x – 1} = \sqrt 3 – 1 \cr
& \Rightarrow x – 1 = {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow x – 1 = 3 – 2\sqrt 3 + 1 \cr
& \Leftrightarrow x = 5 – 2\sqrt 3 \cr} \)
Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 5 – 2\sqrt 3 \)
b) \(x + 2\sqrt {x – 1} – {m^2} + 6m – 11 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)
\( \Leftrightarrow x – 1 + 2\sqrt {x – 1} – {m^2} + 6m – 10 = 0\)
Đặt \(\sqrt {x – 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – {m^2} + 6m – 10 = 0\)
\(a = 1 > 0;c = – {m^2} + 6m – 10 = – \left( {{m^2} – 6m + 9 + 1} \right) = – \left[ {{{\left( {m – 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\)
nên c < 0 ⇒ a và c khác dấu, phương trình có hai nghiệm.
Phân biệt t1 và t2 trái dấu nhau. Giả sử t1 > 0 \( \Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm
Câu 7.3: (Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của m để phương trình
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left[ {{x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {{x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr
{{x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \)
Ta xét phương trình (1): \({x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\({\Delta _1}’ = {\left( { – m} \right)^2} – 1.\left[ { – 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi m
Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình (2): \({x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\(\eqalign{
& {\Delta _2}’ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.\left[ { – 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr
& = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr
& = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \)
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _2}’ \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} – {m^2} – m + 2m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) – m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} – m + 2} \right) \ge 0 \cr} \)
Vì \({m^2} – m + 2 = {m^2} – 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} = {\left( {m – {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)
\( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 1\)
Vậy với m ≥ -1 thì phương trình (2) có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).
Ta có: \({\Delta _2}’ = 0\) suy ra m = -1 và nghiệm kép phương trình (2): x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: \(4 – 4m – 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4 – 4m – 4{m^2} – 4 \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow – 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m \ne 0} \cr
{m \ne – 1} \cr} } \right.\)
vô lý loại vì m = -1
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 trong đó có 1 nghiệm giả sử là x1 cũng là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta _2}’ > 0 \Leftrightarrow m > – 1\)
Và
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1}^2 – 2m{x_1} – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr
{{x_1}^2 – 4{x_1} – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m – 4{m^2} – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} – 2{m^2} + m – 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m – 2} \right) + \left( {m – 2} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2\left( {m – 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {2 – m} \right){x_1} + 2\left( {m – 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 \cr} \)
Vì x1 cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \({x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 – 2m – 4} \right] = 0 \cr} \)
(vì \({m^2} + 1 > 0\) )
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {m^2} + 1 – 2m – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} – 2m – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} – 3m + m – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m – 3} \right) + \left( {m – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m – 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m = 3} \cr
{m = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vì m > -1 nên m = -1 loại
Vậy m = 3. Thay m = 3 vào phương trình (1) và (2) ta có:
Phương trình (1): \({x^2} – 6x – 40 = 0\)
Phương trình (2): \({x^2} – 4x – 60 = 0\)
Giải phương trình (1):
\(\eqalign{
& {x^2} – 6x – 40 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.\left( { – 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{3 – 7} \over 1} = – 4 \cr} \)
Giải phương trình (2):
\(\eqalign{
& {x^2} – 4x – 60 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.\left( { – 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {64} = 8 \cr
& {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{2 – 8} \over 1} = – 6 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi m = 3
