Câu 34: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép
a) \(5{x^2} + 2mx – 2m + 15 = 0\)
b) \(m{x^2} – 4\left( {m – 1} \right)x – 8 = 0\)
a) Phương trình \(5{x^2} + 2mx – 2m + 15 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ‘ = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {m^2} – 5\left( { – 2m + 15} \right) = {m^2} + 10m – 75 \cr
& \Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 10m – 75 = 0 \cr
& \Delta ‘m = {5^2} – 1.\left( { – 75} \right) = 25 + 75 = 100 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘m} = \sqrt {100} = 10 \cr
& {m_1} = {{ – 5 + 10} \over 1} = 5 \cr
& {m_2} = {{ – 5 – 10} \over 1} = – 15 \cr} \)
Vậy với m = 5 hoặc m = -15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b) Phương trình \(m{x^2} – 4\left( {m – 1} \right)x – 8 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(m \ne 0\) và \(\Delta ‘ = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left[ { – 2\left( {m – 1} \right)} \right]^2} – m.\left( { – 8} \right) \cr
& = 4\left( {{m^2} – 2m + 1} \right) + 8m \cr
& = 4{m^2} – 8m + 4 + 8m \cr
& = 4{m^2} + 4 \cr
& \Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4 = 0 \cr} \)
Ta có \(4{m^2} \ge 0 \Rightarrow 4{m^2} + 4 \ge 0\) với mọi m
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép.
Câu 5.1: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?
Advertisements (Quảng cáo)
A) \({x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)
B) \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over a}\)
C) \({x_1} = {x_2} = – {b \over a}\)
D) \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over {2a}}\)
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0
Chọn B: \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over a}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 5.2: Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} – 2acx + {a^2} – {b^2} = 0\) có nghiệm.
Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} – 2acx + {a^2} – {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({b^2} + {c^2} \ne 0\) và \(\Delta ‘ \ge 0\)
\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra b và c không đồng thời bằng 0.
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – ac} \right)^2} – \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} – {b^2}} \right) \cr
& = {a^2}{c^2} – {a^2}{b^2} + {b^4} – {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr
& = – {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr
& = {b^2}\left( { – {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr
& \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left( { – {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \))
Vì \({b^2} \ge 0 \Rightarrow – {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)
Vậy với \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 5.3: Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right) + \left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right) + \left( {x – c} \right)\left( {x – a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.
\(\eqalign{
& \left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right) + \left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right) + \left( {x – c} \right)\left( {x – a} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – bx – ax + ab + {x^2} – cx – bx + bc + {x^2} – ax – cx + ac = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} – 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc + ac = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {a + b + c} \right)^2} – 3\left( {ab + bc + ac} \right) \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc – 3ab – 3ac – 3bc \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ac \cr
& = {1 \over 2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} – 2ab – 2ac – 2bc} \right) \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {{a^2} – 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} – 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} – 2ac + {c^2}} \right)} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {{\left( {b – c} \right)}^2} + {{\left( {a – c} \right)}^2}} \right] \cr} \)
Ta có: \({\left( {a – b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b – c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a – c} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \({\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {a – c} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow \Delta ‘ = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {{\left( {b – c} \right)}^2} + {{\left( {a – c} \right)}^2}} \right] \ge 0\)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.
