Câu 100: Rút gọn các biểu thức
a) \(\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } ;\)
b) \(\sqrt {15 – 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 – 12\sqrt 6 } ;\)
c) \(\left( {15\sqrt {200} – 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} .\)
a)
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \cr
& = \left| {2 – \sqrt 3 } \right| + \sqrt {3 – 2\sqrt 3 + 1} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2 – \sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} \cr
& = 2 – \sqrt 3 + \left| {\sqrt 3 – 1} \right| \cr} \)
\( = 2 – \sqrt 3 + \sqrt 3 – 1 = 1\)
b)
\(\eqalign{
& \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 – 12\sqrt 6 } \cr
& = \sqrt {9 – 2.3\sqrt 6 + 6} + \sqrt {9 – 2.3.2\sqrt 6 + 24} \cr} \)
\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {3 – \sqrt 6 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 – \sqrt 6 } \right)}^2}} \cr
& = \left| {3 – \sqrt 6 } \right| + \left| {3 – 2\sqrt 6 } \right| \cr} \)
\( = 3 – \sqrt 6 + 2\sqrt 6 – 3 = \sqrt 6 \)
c)
\(\eqalign{
& \left( {15\sqrt {200} – 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} \cr
& = 15\sqrt {{{200} \over {10}}} – 3\sqrt {{{450} \over {10}}} + 2\sqrt {{{50} \over {10}}} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 15\sqrt {20} – 3\sqrt {45} + 2\sqrt 5 \cr
& = 15\sqrt {4.5} – 3\sqrt {9.5} + 2\sqrt 5 \cr} \)
\(\eqalign{
& = 15.2\sqrt 5 – 3.3\sqrt 5 + 2\sqrt 5 \cr
& = 30\sqrt 5 – 9\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 23\sqrt 5 \cr} \)
Câu 101:
a) Chứng minh
\(x – 4\sqrt {x – 4} = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2};\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } .\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có:
\(x – 4\sqrt {x – 4} = \left( {x – 4} \right) – 2.2\sqrt {x – 4} + 4\)
\( = {\left( {\sqrt {x – 4} } \right)^2} – 2.2\sqrt {x – 4} + {2^2} = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2}\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) A xác định khi: \(x – 4 \ge 0\) và \(x – 4\sqrt {x – 4} \ge 0\)
\(x – 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)
\(\eqalign{
& x – 4\sqrt {x – 4} = \left( {x – 4} \right) – 2.2\sqrt {x – 4} + 4 \cr
& = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2} \ge 0 \cr} \)
Ta có:
\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt {x – 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\)
\( = \sqrt {x – 4} + 2 + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\)
– Nếu
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \sqrt {x – 4} – 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 4} \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \)
thì: \(\left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right| = \sqrt {x – 4} – 2\)
Ta có: \(A = \sqrt {x – 4} + 2 + \sqrt {x – 4} – 2 = 2\sqrt {x – 4} \)
– Nếu:
\(\eqalign{
& \sqrt {x – 4} – 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 4} < 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \)
thì \(\left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right| = 2 – \sqrt {x – 4} \)
Ta có: \(A = \sqrt {x – 4} + 2 + 2 – \sqrt {x – 4} = 4\)
Câu 102: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
\(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \);
\(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} .\)
a) Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \);
b) Tìm x, biết:
\(\sqrt x = \sqrt {x + 1} = 1\);
\(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} = 2\)
\(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \) xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,x \ge 0\)
\(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} \) xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
x + 4 \ge 0 \hfill \cr
x – 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 4 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\)
a) Với \(x \ge 0\) ta có: \(x + 1 \ge 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\)
Suy ra: \(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\)
Với \(x \ge 1\) ta có:
\(x + 4 \ge 1 + 4 \Leftrightarrow x + 4 \ge 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} \ge \sqrt 5 \)
Suy ra: \(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} \ge 5\)
b.*\(\sqrt x + \sqrt {x + 1} = 1\)
Điều kiện : \(x \ge 0\)
Ta có: \(\sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt x = 0\) và \(\sqrt {x + 1} = 1\)
Suy ra: x = 0
* \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} = 2\)
Ta có: \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} \ge \sqrt 5 \)
Mà: \(\sqrt 5 > \sqrt 4 \Leftrightarrow \sqrt 5 > 2\)
Vậy không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} = 2\) .
