Câu III.1*: Giải các phương trình sau:
a. \({{13} \over {\left( {2x + 7} \right)\left( {x – 3} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} – 9}}\)
b. \({\left( {1 – {{2x – 1} \over {x + 1}}} \right)^3} + 6{\left( {1 – {{2x – 1} \over {x + 1}}} \right)^2} = {{12\left( {2x – 1} \right)} \over {x + 1}} – 20\)
a. ĐKXĐ: \(x \ne – {7 \over 2}\)và \(x \ne \pm 3\). Mẫu chung là \(\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)\)
Khử mẫu ta được:
\(\eqalign{ & 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 3x – 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) – 3\left( {x + 4} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = – 4\) hoặc \(x = 3\)
Trong hai giá trị tìm được, chỉ có x = -4 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = -4.
b. Đặt y \( = 1 – {{2x – 1} \over {x + 1}}\), ta có:
\({{12\left( {2x – 1} \right)} \over {x + 1}} – 20 = – 12\left( {1 – {{2x – 1} \over {x + 1}}} \right) – 8 = – 12y – 8\)
Do đó phương trình đã cho có dạng \({y^3} + 6{y^2} = – 12y – 8\) . Giải phương trình này:
\(\eqalign{ & {y^3} + 6{y^2} = – 12y – 8 \cr & \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} + {2^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow y = – 2 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình
Advertisements (Quảng cáo)
\(1 – {{2x – 1} \over {x + 1}} = – 2\) hay \({{2x – 1} \over {x + 1}} = 3\)
ĐKXĐ của phương trình là . Giải phương trình này bằng cách khử mẫu, ta được:
\(\eqalign{ & 2x – 1 = 3\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow x = – 4 \cr} \)
Giá trị x = -4 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu III.2: a. Cho ba số a, b và c đôi một phân biệt. Giải phương trình
\({x \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right)}} + {x \over {\left( {b – a} \right)\left( {b – c} \right)}} + {x \over {\left( {c – a} \right)\left( {c – b} \right)}} = 2\)
b. Cho số a và ba số b, c, d khác a và thỏa mãn điều kiện c + d = 2b. Giải phương trình
\({x \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right)}} – {{2x} \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a – c} \right)\left( {a – d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a – c} \right)\left( {a – d} \right)}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
a. \({x \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right)}} + {x \over {\left( {b – a} \right)\left( {b – c} \right)}} + {x \over {\left( {c – a} \right)\left( {c – b} \right)}} = 2\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left( {c – b} \right) + x\left( {a – c} \right) + x\left( {b – a} \right)} \over {\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right)}} = 2 \cr & \Leftrightarrow 0x = 2\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right) \cr} \)
Do a, b, c đôi một khác nhau nên . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b. \({x \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right)}} – {{2x} \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a – c} \right)\left( {a – d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a – c} \right)\left( {a – d} \right)}}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left( {a – d} \right) – 2x\left( {a – c} \right) + 3x\left( {a – b} \right)} \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right)\left( {a – d} \right)}} = {{4a\left( {a – b} \right)} \over {\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right)\left( {a – d} \right)}} \cr & \Leftrightarrow x\left( {a – d – 2a + 2c + 3a – 3b} \right) = 4a\left( {a – b} \right) \cr & \Leftrightarrow x\left( {2a – 3b + 2c – d} \right) = 4a\left( {a – b} \right) \cr & \Leftrightarrow x\left( {2a – 3b + 2c – d} \right) = 4a\left( {a – b} \right) \cr} \)
Theo giả thiết, b + d = 2c nên 2a – 3b + 2c – d = 2a – 2b = 2 (a – b ). Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
\(2\left( {a – b} \right)x = 4a\left( {a – b} \right)\)
Để ý rằng a – b ≠ 0, ta thấy ngay phương trình cuối có nghiệm duy nhất x = 2a. Vậy phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất x =2a.
Câu III.3: Cần phải thêm vào tử và mẫu của phân số \({{13} \over {18}}\) với cùng một số tự nhiên nào để được phân số \({4 \over 5}\)?
Gọi x là số tự nhiên cần thêm vào cả tử và mẫu của phân số \({{13} \over {18}}\) để được phân số \({4 \over 5}\) , ta có phương trình
\({{13 + x} \over {18 + x}} = {4 \over 5}\)
Giải phương trình trên chú ý rằng x > 0, ta được x = 7
Vậy số tự nhiên cần tìm là 7.
Câu III.4: Cách đây 10 năm, tuổi của người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai. Sau đây 2 năm, tuổi của người thứ hai bằng nửa tuổi của người thứ nhất. Hỏi hiện nay, tuổi của mỗi người là bao nhiêu ?
Gọi tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (x nguyên dương). Ta có thể lập bảng:
|
|
Tuổi của người thứ nhất |
Tuổi của người thứ hai |
|
Cách đây 10 năm |
\(3\left( {x – 10} \right)\) |
\(x – 10\) |
|
Hiện nay |
\(3\left( {x – 10} \right) + 10 = 2\left( {x + 2} \right) – 2\) |
\(x\) |
|
Sau đây 2 năm |
\(2\left( {x + 2} \right)\) |
\(x + 2\) |
Từ đó ta có phương trình \(3\left( {x – 10} \right) + 10 = 2\left( {x + 2} \right) – 2\)
Giải phương trình này ta được x = 22, thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy tuổi hiện nay của người thứ hai là 22 và của người thứ nhất là
\(2\left( {x + 2} \right) – 2 = 46\)
