Đề 1 (45 phút)
Câu 1(6 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi OABC có tâm đối xứng là I(-1;1) và có cạnh bằng \(\sqrt {10} \).
a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C và tính diện tích hình thoi, biết \({x_A} > {x_C}\);
b) Tìm tọa độ điểm D (khác B) là giao điểm của đường thẳng OB với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Ta có \(\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \) suy ra B(-2 ; 2).
Đường thẳng AC đi qua I(-1 ; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {OI} = ( – 1;1)\) nên có phương trình :
x – y + 2 = 0
Tọa độ A và C có dạng \(\left( {t;t + 2} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có : \(O{A^2} = O{C^2} = 10\) suy ra t = 1 hay t = -3.
Suy ra A(1 ; 3) và C(-3 ; -1).
b) Tam giác ABC cân tại B, suy ra điểm D thuộc đường thẳng OB có phương trình : x + y = 0
Đặt D(t;-t) ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\overrightarrow {BA} = (3;1),\,\overrightarrow {AD} = (t – 1; – t – 3)\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 3\left( {t – 1} \right) – t – 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\)
Vậy D(3 ; -3)
Câu 2 (4 điểm): Cho elip (E) đi qua điểm \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M (\({F_1};{F_2}\) là hai tiêu điểm của elip).
a) Viết phương tình chính tắc của (E).
b) Tìm tiêu cự và tỉ số \({c \over a}\) của (E).
a) \(\eqalign{
& M \in (E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {9 \over {5{a^2}}} + {6 \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Leftrightarrow O{M^2} = {c^2} \cr
& \Leftrightarrow {c^2} = 5 \Leftrightarrow {a^2} – {b^2} = 5\,\,\,(2) \cr} \)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được \({a^2} = 9;{b^2} = 4\)
Vậy (E) có phương trình \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)
b) \(2c = 2\sqrt 5 \,\,;\,{c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}.\)
