Bài 8: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.
a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)
Giải
a)
Gọi I và I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có \(\Delta ABC = \Delta ABD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow CI = DI\)(2 trung tuyến tương ứng)
\(\Delta CID\) cân tại I nên \(IJ \bot AB\).
Gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB và OC = OD.
Vì AB = CD = c nên hai tam giác vuông OIB và OJC bằng nhau, do đó OB = OC.
Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm R = OA.
Ta có: \(O{A^2} = O{I^2} + A{I^2} = {{I{J^2}} \over 4} + {{A{B^2}} \over 4} = {{I{J^2} + {c^2}} \over 4}\)
Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên \(C{I^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} – {c^2}} \over 4}\)
Suy ra \(I{J^2} = C{I^2} – C{J^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} – {c^2}} \over 4} – {{{c^2}} \over 4} = {{{a^2} + {b^2} – {c^2}} \over 2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Như vậy \({R^2} = O{A^2} = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 8}\) và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\(S = 4\pi {R^2} = {\pi \over 2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
b)
Các mặt của hình tứ diện là các tam giác bằng nhau (đều có ba cạnh bằng a, b, c) nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính r bằng nhau. Các đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu tâm (O;R) nên khoảng cách từ tâm O tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bằng \(h = \sqrt {{R^2} – {r^2}} \).
Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
(OA = R, OH = h, HA = r)
Bài 9: Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.
Advertisements (Quảng cáo)
Giải
Gọi J là trung điểm của AB và \(l \) là đường thẳng qua J vuông góc với mp(SAB) thì \(l\) là trục của tam giác SAB (mọi điểm trên \(l \) đều cách đều S, A, B).
Gọi I là giao điểm của \(l\) với mặt phẳng trung trực đoạn CS thì I cách đều bốn điểm S, A, B, C. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC có tâm I và bán kính R = IA. Ta có:
\({R^2} = I{A^2} = A{J^2} + I{J^2} = {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{SC} \over 2}} \right)^2} \)
\(= {1 \over 4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2} = \pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Vì \(SC // l \) nên SI cắt CJ tại G và \({{GJ} \over {GC}} = {{IJ} \over {SC}} = {1 \over 2}\) nên G là trọng tâm tam giác ABC. Vậy S, G và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.
Bài 10: a) Chứng minh rằng một hình trụ lăng trụ có mặt cầu cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn.
b) Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất?
Giải
a)
Nếu H là hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy H là hình lăng trụ đứng. Ngoài ra vì H có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
Ngược lại, cho H là hình lăng trụ đứng có các đường tròn (C) và (C’) ngoại tiếp các đa giác đáy. Gọi I và I’ là tâm của hai đường tròn đó thì II’ là trục của cả hai đường tròn. Vì thế nếu gọi O là trung điểm của II’ thì O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ ấy có mặt cầu ngoại tiếp.
b) Nếu hình hộp H nội tiếp mặt cầu \(S(O ; R)\) thì các mặt của H phải là những hình chữ nhật, vậy H là hình hộp chữ nhật mà O là giao điểm của các đường chéo và độ dài đường chéo là \(d = 2R\). Gọi x, y, z là ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó thì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\).
Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp thì ta có: \(S = 2xy + 2yz + 2xz \le\)
\(\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 8{R^2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = {{2R} \over {\sqrt 3 }}\)
Vậy S đạt giá trị lớn nhất là \(8{R^2}\) khi và chỉ khi \(x = y = z = {{2R} \over {\sqrt 3 }}\), khi đó H là hình lập phương.
