Câu 43: Tìm x thỏa mãn điều kiện
a) \(\sqrt {{{2x – 3} \over {x – 1}}} = 2\)
b) \({{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }} = 2\)
c) \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3\)
d) \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)
a) Ta có:
\(\sqrt {{{2x – 3} \over {x – 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2x – 3} \over {x – 1}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge 3 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1,5 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 \le 0 \hfill \cr
x – 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \le 3 \hfill \cr
x < 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1,5 \hfill \cr
x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr} \)
Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{2x – 3} \over {x – 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x – 3} \over {x – 1}} = 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4(x – 1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4x – 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)
Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.
b) Ta có: \({{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge 3 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1,5 \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)
Với x ≥ 1,5 ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x – 3} \over {x – 1}} = 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4(x – 1) \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2x – 3 = 4x – 4 \cr
& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)
Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {2x – 3} } \over {\sqrt {x – 1} }} = 2\)
c) Ta có: \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \ge – 3 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 0,75 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – 0,75 \cr} \)
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \le 0 \hfill \cr
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \le – 3 \hfill \cr
x < – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 0,75 \hfill \cr
x < – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < – 1 \cr} \)
Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr
& \Leftrightarrow 5x = – 6 \Leftrightarrow x = – 1,2 \cr} \)
Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.
Advertisements (Quảng cáo)
d) Ta có : \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \ge – 3 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 0,75 \hfill \cr
x > – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – 0,75 \cr} \)
Với x ≥ -0,75 ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr
& \Leftrightarrow 5x = – 6 \Leftrightarrow x = – 1,2 \cr} \)
Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)
Câu 44: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:
\({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Câu 45: Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh
\(\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}\)
Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \)
\( \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \cr} \)
