Câu 9: Rút gọn các phân thức sau:
a. \({{14x{y^5}\left( {2x – 3y} \right)} \over {21{x^2}y{{\left( {2x – 3y} \right)}^2}}}\)
b. \({{8xy{{\left( {3x – 1} \right)}^3}} \over {12{x^3}\left( {1 – 3x} \right)}}\)
c. \({{20{x^2} – 45} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)
d.\({{5{x^2} – 10xy} \over {2{{\left( {2y – x} \right)}^3}}}\)
e. \({{80{x^3} – 125x} \over {3\left( {x – 3} \right) – \left( {x – 3} \right)\left( {8 – 4x} \right)}}\)
f. \({{9 – {{\left( {x + 5} \right)}^2}} \over {{x^2} + 4x + 4}}\)
g. \({{32x – 8{x^2} + 2{x^3}} \over {{x^3} + 64}}\)
h. \({{5{x^3} + 5x} \over {{x^4} – 1}}\)
i. \({{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 4x + 4}}\)
a. \({{14x{y^5}\left( {2x – 3y} \right)} \over {21{x^2}y{{\left( {2x – 3y} \right)}^2}}}\) \(= {{2{y^4}} \over {3x\left( {2x – 3y} \right)}}\)
b. \({{8xy{{\left( {3x – 1} \right)}^3}} \over {12{x^3}\left( {1 – 3x} \right)}}\) \( = {{ – 8xy{{\left( {3x – 1} \right)}^3}} \over {12{x^2}\left( {3x – 1} \right)}} = {{ – 2y{{\left( {3x – 1} \right)}^2}} \over {3x}}\)
c. \({{20{x^2} – 45} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\) \( = {{5\left( {4{x^2} – 9} \right)} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = {{5\left( {2x + 3} \right)\left( {2x – 3} \right)} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = {{5\left( {2x – 3} \right)} \over {2x + 3}}\)
d. \({{5{x^2} – 10xy} \over {2{{\left( {2y – x} \right)}^3}}}\) \( = {{ – 5x\left( {2y – x} \right)} \over {2{{\left( {2y – x} \right)}^3}}} = {{ – 5x} \over {2{{\left( {2y – x} \right)}^2}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
e. \({{80{x^3} – 125x} \over {3\left( {x – 3} \right) – \left( {x – 3} \right)\left( {8 – 4x} \right)}}\) \( = {{5x\left( {16{x^2} – 25} \right)} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {3 – 8 + 4x} \right)}} = {{5x\left( {16{x^2} – 25} \right)} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {4x – 5} \right)}} = {{5x\left( {4x + 5} \right)} \over {x – 3}}\)
f. \({{9 – {{\left( {x + 5} \right)}^2}} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) \( = {{\left( {3 + x + 5} \right)\left( {3 – x – 5} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{ – \left( {8 + x} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{ – \left( {8 + x} \right)} \over {x + 2}}\)
g. \({{32x – 8{x^2} + 2{x^3}} \over {{x^3} + 64}}\) \( = {{2x\left( {16 – 4x + {x^2}} \right)} \over {\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} – 4x + 16} \right)}} = {{2x} \over {x + 4}}\)
h. \({{5{x^3} + 5x} \over {{x^4} – 1}}\)\( = {{5x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {{5x} \over {{x^2} – 1}}\)
i. \({{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) \( = {{{x^2} + 2x + 3x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x + 3} \over {x + 2}}\)
Câu 10: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. \({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy – {y^2}}} = {{xy + {y^2}} \over {2x – y}}\)
b. \({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y – x{y^2} – 2{y^3}}} = {1 \over {x – y}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
a. Biến đổi vế trái :
\({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy – {y^2}}} = {{y\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)} \over {2{x^2} + 2xy – xy – {y^2}}} = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {2x\left( {x + y} \right) – y\left( {x + y} \right)}}\)
\( = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}} = {{y\left( {x + y} \right)} \over {2x – y}} = {{xy + {y^2}} \over {2x – y}}\)
Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế trái:
\({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y – x{y^2} – 2{y^3}}} = {{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}} \over {{x^2}\left( {x + 2y} \right) – {y^2}\left( {x + 2y} \right)}} = {{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} – {y^2}} \right)}}\)
\( = {{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)}} = {1 \over {x – y}}\)
Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
Câu 11: Cho hai phân thức \({{{x^3} – {x^2} – x + 1} \over {{x^4} – 2{x^2} + 1}}\) , \({{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\). Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.
\({{{x^3} – {x^2} – x + 1} \over {{x^4} – 2{x^2} + 1}}\) \( = {{{x^2}\left( {x – 1} \right) – \left( {x – 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} = {{\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)
\( = {{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {1 \over {x + 1}}\)
\({{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} = {{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x} \over {x + 1}}\)
Câu 12: Tìm x, biết:
a. \({a^2}x + x = 2{a^4} – 2\)với a là hằng số;
b. \({a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\)với a là hằng số, a ≠ 0 và a ≠ −3.
a. \({a^2}x + x = 2{a^4} – 2\)
\(\eqalign{ & x\left( {{a^2} + 1} \right) = 2\left( {{a^4} – 1} \right) \cr & x = {{2\left( {{a^4} – 1} \right)} \over {{a^2} + 1}} = {{2\left( {{a^2} – 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} \over {{a^2} + 1}} = 2\left( {{a^2} – 1} \right) \cr} \)
b. \({a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow ax\left( {a + 3} \right) = {a^2} – 9 \cr & x = {{{a^2} – 9} \over {a\left( {a + 3} \right)}} = {{\left( {a – 3} \right)\left( {a + 3} \right)} \over {a\left( {a + 3} \right)}} = {{a – 3} \over a} \cr} \) (với a ≠ 0, a ≠ −3)
