Bài 5: Tính \( \frac{f'(1)}{\varphi ‘(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x +sin \frac{\pi x}{2}\).
Ta có \(f'(x) = 2x\), suy ra \(f'(1) = 2\)
và \(φ'(x) = 4 + \left ( \frac{\pi x}{2} \right )’. cos \frac{\pi x}{2} = 4 + \frac{\pi }{2}. cos \frac{\pi x}{2}\), suy ra \(φ'(1) = 4\).
Vậy \( \frac{f'(1)}{\varphi ‘(1)}\) = \( \frac{2}{4}\) = \( \frac{1}{2}\).
Bài 6: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):
a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);
b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2} \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).
a) Ta có:
\(y’ = 6{\sin ^5}x.\cos x – 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x – 6{\sin ^3}x.\cos x\)
\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x – 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 – {\cos ^2}x)\)
\(= – 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).
Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).
b)
\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} – 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} – 2x} \right)} \over 2} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} – 2{\sin ^2}x\)
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được
\(y’ =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) – \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) – \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)
\(- 2\sin 2x = 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin (-2x) – 2\sin 2x \)
\(= \sin 2x + \sin 2x – 2\sin 2x = 0\),
vì \(\cos \frac{2\pi }{3}\) = \(\cos \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).
Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).
Bài 7: Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:
a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\);
b) \(f(x) = 1 – \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(f'(x) = – 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow – 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow3 \sin x – 4\cos x = 5\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x – \frac{4}{5}\ cos x = 1\). (1)
Đặt \(\cos φ = \frac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ = \frac{4}{5}\), ta có:
(1) \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ – \cos x.\sin φ = 1 \Leftrightarrow \sin(x – φ) = 1\)
\(\Leftrightarrow x – φ = \frac{\pi }{2} + k2π \Leftrightarrow x = φ + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\).
b) \(f'(x) = – \cos(π + x) – \sin \left (\pi + \frac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin \frac{x }{2}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \frac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x }{2} = – cosx\)
\(\Leftrightarrow sin \frac{x }{2} = sin \left (x-\frac{\pi}{2}\right )\)
\(\Leftrightarrow \frac{x }{2}= x-\frac{\pi}{2}+ k2π\) hoặc \( \frac{x }{2} = π – x+\frac{\pi}{2}+ k2π\)
\(\Leftrightarrow x = π – k4π\) hoặc \(x = π + k \frac{4\pi }{3}\), \((k ∈ \mathbb Z)\).
Bài 8: Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:
a) \(f(x) = x^3+ x – \sqrt2\), \(g(x) = 3x^2+ x + \sqrt2\) ;
b) \(f(x) = 2x^3- x^2+ \sqrt3\), \(g(x) = x^3+ \frac{x^{2}}{2} – \sqrt 3\).
a) Ta có \(f'(x) = 3x^2+ 1\), \(g'(x) = 6x + 1\). Do đó
\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 \Leftrightarrow 3x^2- 6x >0\)
\(\Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 \Leftrightarrow x > 2\) hoặc \(x > 0\)
\(\Leftrightarrow x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)\).
b) Ta có \(f'(x) = 6x^2- 2x\), \(g'(x) = 3x^2+ x\). Do đó
\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x \Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0\)
\(\Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc \(x < 0\)
\(\Leftrightarrow x ∈ (-∞;0) ∪ (1;+∞)\).
