Câu 1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 :
a. \({{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}\)
b. \({{\sin n} \over {n + 5}}\)
c. \({{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}\)
a. Ta có:
\(\left| {{{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}} \right| = {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {n + 5}} = 0\)
b. \(\left| {{{\sin n} \over {n + 5}}} \right| \le {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {{\sin n} \over {n + 5}} = 0\)
c. \(\left| {{{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}} \right| \le {1 \over {\sqrt n + 1}} < {1 \over {\sqrt n }},\lim{1 \over {\sqrt n }} = 0 \Rightarrow \lim {{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}} = 0\)
Câu 2. Chứng minh rằng hai dãy số (un) và (vn) với
\({u_n} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{v_n} = {{{{\left( { – 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}\)
Có giới hạn 0.
Ta có:
\(\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr
& \left| {{v_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { – 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {{\left| {\cos n} \right|} \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over {{n^2} + 1}} < {1 \over {{n^2}}}\,\text{ và }\,\lim {1 \over {{n^2}}} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \cr} \)
Câu 3. Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0 :
Advertisements (Quảng cáo)
a. \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)
b. \({u_n} = {{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}\)
c. \({u_n} = – {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)
a. Ta có:
\(\left| {0,99} \right| < 1\,\text{ nên }\,\lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0\)
b.
\(\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^n},\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \)
c.
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}} \le {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n},\lim {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \)
Câu 4. Cho dãy số (un) với \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\)
a. Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n.
b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n.
c. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn 0.
a. Ta có:
\(\eqalign{
& {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} \cr
& = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \le {2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \)
b. Rõ ràng \(u_n> 0, ∀n ≥ 1\).
Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\)
Vậy (1) đúng với \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :
\({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\)
Khi đó \({u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a)
\( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) nên (1) đúng với mọi \(n\).
c. Ta có:
\(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\)
Mà \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)
