Câu 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
a. \(y = \sqrt {3 – \sin x} \) ;
b. \(y = {{1 – \cos x} \over {\sin x}}\)
c. \(y = \sqrt {{{1 – \sin x} \over {1 + \cos x}}} \)
d. \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\)
a. Vì \(-1 ≤ sinx ≤ 1\) nên \(3 – sinx > 0\) với mọi \(x\) nên tập xác định của hàm số là: \(D =\mathbb R\)
b. \(y = {{1 – \cos x} \over {\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x ≠ 0\)
\(⇔ x ≠ kπ, k \in\mathbb Z\)
Vậy tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ kπ , k \in \mathbb Z\right\}\)
c. Vì \(1 – sinx ≥ 0\) và \(1 + cosx ≥ 0\) nên hàm số xác định khi và chỉ khi \(cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + k2π, k \in\mathbb Z\)
Vậy tập xác định \(D =\mathbb R\backslash\left\{ π + k2π , k \in\mathbb Z\right\}\)
d. \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\) xác định ⇔ \(\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\)
\( \Leftrightarrow 2x + {\pi \over 3} \ne {\pi \over 2} + k\pi \Leftrightarrow {\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in \mathbb Z\)
Vậy tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {{\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\}\)
Câu 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau :
a. \(y = -2\sin x\)
b. \(y = 3\sin x – 2\)
c. \(y=\sin x – \cos x\)
d. \(y = \sin x\cos^2 x+ \tan x\)
a. \(f(x) = -2\sin x\)
Tập xác định \(D =\mathbb R\), ta có \(f(-x) = -2\sin (-x) = -f(x), ∀x \in\mathbb R\)
Vậy \(y = -2\sin x\) là hàm số lẻ.
b. \(f(x) = 3\sin x – 2\)
Ta có: \(f\left( {{\pi \over 2}} \right) = 1;f\left( { – {\pi \over 2}} \right) = – 5\)
\(f\left( { – {\pi \over 2}} \right) \ne – f\left( { – {\pi \over 2}} \right)\) và \(f\left( { – {\pi \over 2}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 2}} \right)\) nên hàm số \(y = 3\sin x – 2\) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.
c. \(f(x) = \sin x – \cos x\)
Ta có: \(f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 0;f\left( { – {\pi \over 4}} \right) = – \sqrt 2 \)
\(f\left( { – {\pi \over 4}} \right) \ne – f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) và \(f\left( { – {\pi \over 4}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) nên \(y = \sin x – \cos x\) không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.
d. \(f\left( x \right) = \sin x{\cos ^2}x + \tan x\)
Tập xác định \(D = \mathbb R \backslash \left\{{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z \right\}\)
\(∀x \in D\) ta có \(– x \in D\) và
\(\eqalign{
& f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right){\cos ^2}\left( { – x} \right) + \tan \left( { – x} \right) \cr
& = – \sin x{\cos ^2}x – \tan x = – f\left( x \right) \cr} \)
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau :
a. \(y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\)
b. \(y = \sqrt {1 – \sin \left( {{x^2}} \right)} – 1\)
c. \(y = 4\sin \sqrt x \)
a. Ta có: \(-1 ≤ \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) ≤ 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow – 2 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \le 2\cr& \Rightarrow 1 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3 \le 5 \Rightarrow 1 \le y \le 5 \cr
&\text{ Vậy }\cr&\min \,y = 1\,khi\,x + {\pi \over 3} = \pi + k2\pi \,\cr&\,\,\,\,\,\,\,\text{ khi} \,x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr
&\max \,y = 5\,khi\,x + {\pi \over 3} = k2\pi \,\text{ khi} \,x = – {\pi \over 3} + k2\pi \cr&\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)
b. Ta có: \(0 \le 1 – \sin {x^2} \le 2\)
\(\Rightarrow – 1 \le \sqrt {1 – \sin {x^2}} – 1 \le \sqrt 2 – 1 \)
\(\Rightarrow – 1 \le y \le \sqrt 2 – 1\)
\(\eqalign{
& \text{ Vậy }\,\min \,y = – 1\,\text{ khi} \,{x^2} = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr
&\max\,y = \sqrt 2 – 1\text{ khi}\,{x^2} = – {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in \mathbb Z \cr} \)
c. Ta có: \( – 1 \le \sin \sqrt x \le 1 \Rightarrow – 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4\)
\(⇒ -4 ≤ y ≤ 4\)
\(\eqalign{
& \text{ Vậy }\cr&\min \,y = – 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = – {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in\mathbb Z \cr
& \max \,y = 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr} \)
Câu 4. Cho các hàm số \(f(x) = \sin x, g(x) = \cos x, h(x) = \tan x\) và các khoảng
\({J_1} = \left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right);{J_2} = \left( { – {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right);{J_3} = \left( {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right);{J_4} = \left( { – {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right)\)
Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng \(J_1\) ? Trên khoảng \(J_2\) ? Trên khoảng \(J_3\) ? Trên khoảng \(J_4\) ? (Trả lời bằng cách lập bảng).
Advertisements (Quảng cáo)
\({J_3} = \left( {8\pi – {\pi \over 4};8\pi + {\pi \over 4}} \right),{J_4} = \left( { – 150\pi – {{2\pi } \over 3}; – 105\pi – {\pi \over 4}} \right)\)
Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :
|
Hàm số |
J1 |
J2 |
J3 |
J4 |
|
\(f(x) = \sin x\) |
0 |
+ |
+ |
0 |
|
\(g(x) = \cos x\) |
+ |
0 |
0 |
+ |
|
\(h(x) = \tan x\) |
+ |
+ |
+ |
0 |
Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ?
a. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \sin x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến.
b. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \sin^2 x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cos^2 x\) nghịch biến.
a. Sai vì trên khoảng \(\left( { – {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) hàm số \(y = \sin x\) đồng biến nhưng hàm số \(y = \cos x\) không nghịch biến.
b. Đúng do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)
Giả sử \(y = \sin^2 x\) đồng biến trên khoảng \(I\), khi đó với \(x_1,x_2\in I\) và \(x_1<x_2\) thì \({\sin ^2}{x_1}< {\sin ^2}{x_2}\)
\( \Rightarrow 1 – {\sin ^2}{x_1} > 1 – {\sin ^2}{x_2} \Rightarrow {\cos ^2}{x_1} > {\cos ^2}{x_2}\)
\(⇒ y = \cos^2 x\) nghịch biến trên \(I\).
Câu 6. Cho hàm số \(y = f(x) = 2\sin 2x\)
a. Chứng minh rằng với số nguyên \(k\) tùy ý, luôn có \(f(x + kπ) = f(x)\) với mọi \(x\).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = 2\sin 2x\) trên đoạn \(\left[ { – {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right].\)
c. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = 2\sin 2x\).
a. Ta có \(f(x + kπ) = 2\sin 2(x + kπ) = 2\sin (2x + k2π) = 2\sin 2x = f(x), ∀ x \in\mathbb R\)
b. Bảng biến thiên :
c. Đồ thị :
Câu 7. Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau :
a. \(y = \cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right)\)
b. \(y = \tan \left| x \right|\)
c. \(y = \tan x – \sin 2x.\)
a. Ta có:
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = \cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right),f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1,f\left( { – {\pi \over 4}} \right) = 0 \cr
& f\left( { – {\pi \over 4}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 4}} \right)\,va\,f\left( { – {\pi \over 4}} \right) \ne – f\left( {{\pi \over 4}} \right) \cr} \)
Nên \(y = \cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right)\) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.
b. \(f(x) = \tan|x|\). Tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z} \right\}\)
\(x \in D ⇒ -x \in D\) và \(f(-x) = \tan |-x| = \tan |x| = f(x)\)
Do đó \(y = \tan |x|\) là hàm số chẵn.
Advertisements (Quảng cáo)
c. \(f(x) = \tan x – \sin 2x\). Tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi ,k \in\mathbb Z} \right\}\)
\(x \in D ⇒ -x \in D\) và \(f(-x) = \tan(-x) – \sin(-2x)\)
\(= -\tan x + \sin 2x = -(\tan x – \sin 2x) = -f(x)\)
Do đó \(y = \tan x – \sin 2x\) là hàm số lẻ.
Câu 8. Cho các hàm số sau :
a. \(y = – {\sin ^2}x\)
b. \(y = 3{\tan ^2}x + 1\)
c. \(y = \sin x\cos x\)
d. \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)
Chứng minh rằng mỗi hàm số \(y = f(x)\) đó đều có tính chất :
\(f(x + kπ) = f(x)\) với \(k \in\mathbb Z\), \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(f\).
Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :
a. \(f(x) = -\sin^2 x\)
\(f(x + kπ) = -\sin^2(x + kπ) = – {\left[ {{{\left( { – 1} \right)}^k}\sin x} \right]^2} = – {\sin ^2}x = f\left( x \right)\)
b.
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr
& f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 = 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr} \)
c. \(f(x) = \sin x\cos x\)
\(\eqalign{
& f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) = {\left( { – 1} \right)^k}\sin x.{\left( { – 1} \right)^k}\cos x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr} \)
d.
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr
& f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( { – 1} \right)^k}\sin x{\left( { – 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr} \)
Câu 9. Cho hàm số \(y = f(x) = A\sin(ωx + ∝)\) (\(A, ω\) và \(∝\) là những hằng số ; \(A\) và \(ω\) khác \(0\)). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\)), ta có \(f\left( {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right) = f\left( x \right)\) với mọi \(x\).
Với \(k \in \mathbb Z\) ta có :
\(\eqalign{
& f\left( {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right) = A\sin \left[ {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A\sin \left( {\omega x + \alpha + k2\pi } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) = f\left( x \right) \cr} \)
Câu 10. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn \(\sqrt {10} \)
Đường thẳng \(y = {x \over 3}\) đi qua các điểm \(E(-3 ; -1)\) và \(F(3 ; 1)\)
Chỉ có đoạn thẳng \(EF\) của đường thẳng đó nằm trong dải \(\left\{ {\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)| – 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right\}\) (dải này chứa đồ thị cuả hàm số \(y = \sin x\)). Vậy các giao điểm của đường thẳng \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) phải thuộc đoạn \(EF\) ; mọi điểm của đoạn thẳng này cách \(O\) một khoảng dài hơn \(\sqrt {9 + 1} = \sqrt {10} \) (và rõ ràng \(E, F\) không thuộc đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)).
Câu 11. Từ đồ thị của hàm số \(y = \sin x\), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó :
a. \(y = -\sin x\)
b. \(y = \left| {\sin x} \right|\)
c. \(y = \sin|x|\)
a. Đồ thị của hàm số \(y = -\sin x\) là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số \(y = \sin x\)
b. Ta có: \(\left| {\sin x} \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,\sin x \ge 0} \cr { – \sin x\,\text{ nếu }\,\sin x < 0} \cr} } \right.\)
do đó đồ thị của hàm số \(y = |\sin x|\) có được từ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \sin x\) bằng cách :
– Giữ nguyên phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(y ≥ 0\) (tức nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ \(Ox\)).
– Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(y < 0\) (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ \(Ox\));
– Xóa phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(y < 0\).
– Đồ thị \(y = |\sin x|\) là đường liền nét trong hình dưới đây :
c. Ta có: \(\sin \left| x \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,x \ge 0} \cr { – \sin x\,\text{ nếu }\,x < 0} \cr} } \right.\)
do đồ thị của hàm số \(y = \sin|x|\) có được từ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \sin x\) bằng cách :
– Giữ nguyên phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(x ≥ 0\) (tức nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ \(Oy\)).
– Xóa phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(x < 0\) (tức nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ \(Oy\)).
– Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(x > 0\)
– Đồ thị \(y = \sin|x|\) là đường nét liền trong hình dưới đây :
Câu 12. a. Từ đồ thị của hàm số \(y = \cos x\), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó :
\(y = \cos x + 2\)
\(y = \cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right)\)
b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?
a. Đồ thị của hàm số \(y = \cos x + 2\) có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) lên trên một đoạn có độ dài bằng \(2\), tức là tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow j (\overrightarrow j = \left( {0,1} \right)\) là vecto đơn vị trên trục tung).
Đồ thị của hàm số \(y = \cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right)\) có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx sang phải một đoạn có độ dài \({\pi \over 4}\), tức là tịnh tiến theo vexto \({\pi \over 4}\overrightarrow i (\overrightarrow i = \left( {1,0} \right)\) là vecto đơn vị trên trục hoành).
b. Các hàm số trên đều là hàm tuần hoàn vì :
nếu \(f(x) = \cos x + 2\) thì \(f(x + 2π) = \cos(x + 2π) + 2\)
\(= \cos x + 2 = f(x), ∀x \in\mathbb R\)
Và nếu \(g(x) = \cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right)\) thì \(g(x + 2π) = \cos \left( {x + 2\pi – {\pi \over 4}} \right)=\cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right) = g\left( x \right)\) , \(∀x \in\mathbb R\)
Câu 13. Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos {x \over 2}\)
a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\), \(f(x + k4π) = f(x)\) với mọi \(x\).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn \([-2π ; 2π]\).
c. Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxy\).
d. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét phép biến hình \(F\) biến mỗi điểm \((x ; y)\) thành điểm \((x’; y’)\) sao cho \(x’= 2x\) và \(y’= y\). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị của hàm số \(y = \cos {x \over 2}.\)
a. \(f\left( {x + k4\pi } \right) = \cos \left( {{x \over 2} + k2\pi } \right) = \cos {x \over 2} = f\left( x \right)\)
b. Bảng biến thiên :
c.
d. Nếu đặt \(x’= 2x, y’= y\) thì \(y = \cos x\) khi và chỉ khi \(y’ = \cos {{x’} \over 2}\). Do đó phép biến đổi xác đinh bởi \((x ; y) ↦ (x’ ; y’)\) sao cho \(x’ = 2x, y’= y\) biến đồ thị hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị hàm số \(y = \cos {x \over 2}.\)
