Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác: \(ABCD.A’B’C’D’\). Mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh bên \(AA’, BB’, CC’, DD’\) lần lượt tại \(I, K, L, M\). xét các véctơ có các điểm đầu là các điểm \(I, K, L, M\) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. hãy chỉ ra các véctơ:
a) Các véctơ cùng phương với \(\overrightarrow{IA}\);
b) Các véctơ cùng hướng với \(\overrightarrow{IA}\);
c) Các véctơ ngược hướng với \(\overrightarrow{IA}\).
Giải.
a) Các véctơ cùng phương với \(\overrightarrow{IA}\) là: \(\overrightarrow{IA’}\), \(\overrightarrow{KB}\), \(\overrightarrow{KB’}\), \(\overrightarrow{LC}\), \(\overrightarrow{LC’}\), \(\overrightarrow{MD}\), \(\overrightarrow{MD’}\).
b) Các véctơ cùng hướng với \(\overrightarrow{IA}\) là: \(\overrightarrow{KB}\), \(\overrightarrow{LC}\), \(\overrightarrow{MD}\).
c) Các véctơ ngược hướng với \(\overrightarrow{IA}\) là: \(\overrightarrow{IA’}\), \(\overrightarrow{KB’}\), \(\overrightarrow{LC’}\), \(\overrightarrow{MD’}\).
Bài 2: Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{B’C’}\) + \(\overrightarrow{DD’}\) = \(\overrightarrow{AC’}\);
b) \(\overrightarrow{BD}\) – \(\overrightarrow{D’D}\) – \(\overrightarrow{B’D’}\) = \(\overrightarrow{BB’}\);
c) \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{BA’}\) + \(\overrightarrow{DB}\) + \(\overrightarrow{C’D}\) = \(\overrightarrow{0}\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{B’C’}\) + \(\overrightarrow{DD’}\) = \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BC}\) + \(\overrightarrow{CC’}\) = \(\overrightarrow{AC’}\);
b) \(\overrightarrow{BD}\) – \(\overrightarrow{D’D}\) – \(\overrightarrow{B’D’}\) = \(\overrightarrow{BD}\) + \(\overrightarrow{DD’}\) + \(\overrightarrow{D’B’}\) = \(\overrightarrow{BB’}\);
c) \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{BA’}\) + \(\overrightarrow{DB}\) + \(\overrightarrow{C’D}\) = \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{CD’}\) + \(\overrightarrow{D’B’}\) + \(\overrightarrow{B’A}\) = \(\overrightarrow{0}\).
Bài 3: Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(S\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. chứng minh rằng: \(\overrightarrow{SA}\) + \(\overrightarrow{SC}\) = \(\overrightarrow{SB}\) + \(\overrightarrow{SD}\).
Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Khi đó:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left.\begin{matrix}\overrightarrow{SA} +\overrightarrow{SC}= 2\overrightarrow{SO}\\ \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO} \end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}.\)
Bài 4: Cho hình tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right );\)
b) \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).\)
(Hình 33) 
a) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.\)
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\)
Cộng từng vế ta được: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )\)
b)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \cr
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \cr} \)
Cộng từng vế ta được: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).\)
Bài 5: cho hình tứ diện \(ABCD\). Hãy xác định hai điểm \(E, F\) sao cho:
a) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD};\)
b) \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\)
(H.3.4)
a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}\) với \(G\) là đỉnh của hình bình hành \(ABGC\). Ta có:
\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}\Rightarrow\) \(E\) là đỉnh của hình bình hành \(ADEG\).
b) Ta có \(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF}\Rightarrow\) \(F\) là đỉnh của hình bình hành \(ADGF\).
