Bài 3.37: Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.
Giả thiết cho ABCD là tứ diện đều nên các cặp cạnh đối diện của tứ diện đó có vai trò như nhau. Do đó ta chỉ cần tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD là đủ.
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Dễ thấy IK là đoạn vuông góc chung của AB và CD nên nó chính là khoảng cách giữa AB và CD.
Tam giác BKI vuông tại I. Ta có :
\(I{K^2} = B{K^2} – B{I^2} = {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} – {\left( {{a \over 2}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 2}\)
Vậy \(IK = {{a\sqrt 2 } \over 2}\).
Bài 3.38: Tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD của hình tứ diện ABCD biết rằng \(AC = BC = A{\rm{D}} = B{\rm{D}} = a\) và \(AB = p,C{\rm{D}} = q\).
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD (h.3.80), ta có IK là đoạn vuông góc chung của AB và CD và độ dài đoạn IK là khoảng cách cần tìm:
Advertisements (Quảng cáo)
\(I{K^2} = B{K^2} – B{I^2} = B{K^2} – {{{p^2}} \over 4}\)
Mà \(B{K^2} = B{C^2} – C{K^2} = {a^2} – {{{q^2}} \over 4}\)
Vậy \(I{K^2} = {a^2} – {{{p^2} + {q^2}} \over 4}\)
Do đó \(IK = {1 \over 2}\sqrt {4{{\rm{a}}^2} – \left( {{p^2} + {q^2}} \right)} \)
Với điều kiện \(4{{\rm{a}}^2} – \left( {{p^2} + {q^2}} \right) > 0\).
Bài 3.39: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC.
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABC).
Advertisements (Quảng cáo)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG.
a) SG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên SG ⊥ (ABC). Ta có
\(\eqalign{
& S{G^2} = S{A^2} – A{G^2} \cr
& = {\left( {2{\rm{a}}} \right)^2} – {\left[ {{2 \over 3}\left( {{{3{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}} \right)} \right]^2} \cr
& = 4{{\rm{a}}^2} – 3{{\rm{a}}^2} = {a^2} \cr} \)
Vậy khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC) là độ dài của đoạn SG = a
Ta có CG ⊥ AB tại H. Vì GH là đoạn vuông góc chung của AB và SG, do đó \(HG = {1 \over 3}HC\) mà \(HC = {{3{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}\) nên \(HG = {{a\sqrt 3 } \over 2}\).
Bài 3.40: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60° và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là một hình vuông.
a) Gọi I là trung điểm của cạnh B’C’. Theo giả thiết ta có AI ⊥ (A’B’C’) và \(\widehat {AA’I} = {60^0}\). Ta biết rằng hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính là khoảng cách AI.
Do đó \(AI = AA’.\sin {60^0} = a.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
b) \(\left. \matrix{
B’C’ \bot A’I \hfill \cr
B’C’ \bot AI \hfill \cr} \right\} \Rightarrow B’C’ \bot \left( {AIA’} \right)\)
\( \Rightarrow B’C’ \bot AA’\)
Mà \(AA’\parallel BB’\parallel CC’\) nên B’C’ ⊥ BB’
Vậy mặt bên BCC’B’ là một hình vuông vì nó là hình thoi có một góc vuông.
