Câu 71: Cho phương trình
\({x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m – 1 = 0\)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m:
\({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2};{x_1}^2 + {x_2}^2\)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ‘ \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left[ { – \left( {m + 1} \right)} \right]^2} – 1\left( {{m^2} + m – 1} \right) \cr
& = {m^2} + 2m + 1 – {m^2} – m + 1 = m + 2 \cr
& \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 2 \cr} \)
Vậy với m ≥ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm.
b) Phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = {{2\left( {x + 1} \right)} \over 1} = 2m + 2 \cr
& {x_1}{x_2} = {{{m^2} + m – 1} \over 1} = {m^2} + m – 1 \cr
& {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} \cr
& = {\left( {2m + 2} \right)^2} – 2\left( {{m^2} + m – 1} \right) \cr
& = 4{m^2} + 8m + 4 – 2{m^2} – 2m + 2 \cr
& = 2{m^2} + 6m + 6 \cr} \)
Câu 72: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng -10.
Advertisements (Quảng cáo)
Hai số có tổng bằng 10 và tích bằng -10 nó là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& {x^2} – 10x – 10 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 5} \right)^2} – 1.\left( { – 10} \right) = 25 + 10 = 35 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {35} \cr
& {x_1} = {{5 + \sqrt {35} } \over 1} = 5 + \sqrt {35} \cr
& {x_2} = {{5 – \sqrt {35} } \over 1} = 5 – \sqrt {35} \cr} \)
Câu 73: Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời hạn nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức 8 tấn. Do đó họ khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn một ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Gọi lượng than mà mỗi đội dự định khai thác mỗi ngày theo kế hoạch là x (tấn)
Điều kiện: x > 0
Thời gian dự định khai thác là \({{216} \over x}\) ngày
Lượng than khai thác 3 ngày đầu là 3x tấn
Advertisements (Quảng cáo)
Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là \(232 – 3x\) (tấn)
Mỗi ngày sau đội khai thác được x + 8 tấn
Thời gian đội khai thác 232 – 3x tấn là \({{232 – 3x} \over {x + 8}}\) ngày.
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {{216} \over x} – 1 = 3 + {{232 – 3x} \over {x + 8}} \cr
& \Rightarrow 216\left( {x + 8} \right) – x\left( {x + 8} \right) = 3x\left( {x + 8} \right) + \left( {232 – 3x} \right)x \cr
& \Leftrightarrow 216x + 1728 – {x^2} – 8x = 3{x^2} + 24x + 232x – 3{x^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 48x – 1728 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {24^2} – 1.\left( { – 1728} \right) = 576 + 1728 = 2304 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {2304} = 48 \cr
& {x_1} = {{ – 24 + 48} \over 1} = 24 \cr
& {x_2} = {{ – 24 – 48} \over 1} = – 72 \cr} \)
x2 = -72 < 0 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội khai thác 24 tấn than.
Câu 74: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở B rồi lại trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 30km/h.
Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là x (km/h); điều kiện: x > 3
Thì vận tốc lúc đi xuôi dòng là x + 3 (km/h)
Vận tốc ca nô đi ngược dòng là x – 3 (km/h)
Thời gian đi xuôi dòng là \({{30} \over {x + 3}}\) giờ
Thời gian đi ngược dòng là \({{30} \over {x – 3}}\) giờ
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {{30} \over {x + 3}} + {{30} \over {x – 3}} = {{16} \over 3} \cr
& \Rightarrow 90\left( {x – 3} \right) + 90\left( {x + 3} \right) = 16\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right) \cr
& \Leftrightarrow 90x – 270 + 90x + 270 = 16{x^2} – 144 \cr
& \Leftrightarrow 16{x^2} – 180x – 144 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{x^2} – 45x – 36 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 45} \right)^2} – 4.4.\left( { – 36} \right) = 2025 + 675 = 2601 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {2601} = 51 \cr
& {x_1} = {{45 + 51} \over {2.4}} = {{96} \over 8} = 12 \cr
& {x_2} = {{45 – 51} \over {2.4}} = {{ – 6} \over 8} = – {3 \over 4} \cr} \)
\({x_2} = – {3 \over 4} < 0\) không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
