Câu 67: Cho hai hàm số: \(y = 2x – 3\) và \(y = – {x^2}\)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.
c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và \(y = – {x^2}\)
a) Vẽ đồ thị hàm số: \(y = 2x – 3\)
Cho x = 0 ⇒ y = -3(0; -3)
Cho y = 0 ⇒ x = 1,5(1,5; 0)
Vẽ đồ thị hàm số:
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
| \(y = – {x^2}\) |
-4 |
-1 |
0 |
-1 |
-4 |
b) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị: A(1; -1) và B(-3; -9)
c) Thay tọa độ của A và B vào phương trình: \(y = 2x – 3\) ta có:
\( – 1 = 2.1 – 3; – 9 = 2.\left( { – 3} \right) – 3\)
Thay tọa độ của A và B vào phương trình: \(y = – {x^2}\)
\( – 1 = – {1^2} = – 1; – 9 = – {\left( { – 3} \right)^2} = – 9\)
Vậy tọa độ của A và B là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{y = 2x – 3} \cr
{y = – {x^2}} \cr} } \right.\)
Câu 68: Giải các phương trình
a) \(3{x^2} + 4\left( {x – 1} \right) = {\left( {x – 1} \right)^2} + 3\)
b) \({x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6\)
c) \({{x + 2} \over {1 – x}} = {{4{x^2} – 11x – 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}\)
d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\)
a)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 4\left( {x – 1} \right) = {\left( {x – 1} \right)^2} + 3 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x – 4 = {x^2} – 2x + 1 + 3 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x – 8 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0 \cr} \)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\); ta có:
\(\eqalign{
& 1 + 3 + \left( { – 4} \right) = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = – 4 \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 – \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 – 6 = 0 \cr
& \Delta = {\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^2} – 4.1.\left( {\sqrt 3 – 6} \right) \cr
& = 1 – 2\sqrt 3 + 3 – 4\sqrt 3 + 24 = 28 – 6\sqrt 3 \cr
& = 27 – 2.3\sqrt 3 + 1 \cr
& = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} – 2.3\sqrt 3 + 1 \cr
& = {\left( {3\sqrt 3 – 1} \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 – 1 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 3 – 1 + 3\sqrt 3 – 1} \over {2.1}} = {{4\sqrt 3 – 2} \over 2} = 2\sqrt 3 – 1 \cr
& {x_2} = {{\sqrt 3 – 1 – 3\sqrt 3 + 1} \over {2.1}} = {{ – 2\sqrt 3 } \over 2} = – \sqrt 3 \cr} \)
c) \({{x + 2} \over {1 – x}} = {{4{x^2} – 11x – 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}\) điều kiện: \(x \ne 1;x \ne – 2\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{x + 2} \over {1 – x}} = {{11x + 2 – 4{x^2}} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 11x + 2 – 4{x^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 11x + 2 – 4{x^2} \cr
& \Leftrightarrow 5{x^2} – 7x + 2 = 0 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0 \Rightarrow 5 + \left( { – 7} \right) + 2 = 0\)
\({x_1} = 1;{x_2} = {2 \over 5}\)
x1 = 1 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy phương trình có 1 nghiệm: \(x = {2 \over 5}\)
d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\) điều kiện: \(x \ne – 2\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 14x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)}} = {x \over {x + 2}} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 14x = x\left( {{x^2} – 2x + 4} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 14x = {x^3} – 2{x^2} + 4x \cr
& \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} – 10x = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3x – 10} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{{x^2} – 3x – 10 = 0} \cr} } \right. \cr} \)
\(\eqalign{
& {x^2} – 3x – 10 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.\left( { – 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = {{10} \over 2} = 5 \cr
& {x_2} = {{3 – 7} \over {2.1}} = {{ – 4} \over 2} = – 2 \cr} \)
Giá trị x = -2 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 5\)
Câu 69: Giải các phương trình trùng phương
a) \({x^4} + 2{x^2} – x + 1 = 15{x^2} – x – 35\)
b) \(2{x^4} + {x^2} – 3 = {x^4} + 6{x^2} + 3\)
c) \(3{x^4} – 6{x^2} = 0\)
d) \(5{x^4} – 7{x^2} – 2 = 3{x^4} – 10{x^2} – 3\)
a)
\(\eqalign{
& {x^4} + 2{x^2} – x + 1 = 15{x^2} – x – 35 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} – x + 1 – 15{x^2} + x + 35 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} – 13{x^2} + 36 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} = t;t \ge 0\) Ta có phương trình: \({t^2} – 13t + 36 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 13} \right)^2} – 4.1.36 = 169 – 144 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {t_1} = {{13 + 5} \over {2.1}} = {{18} \over 2} = 9 \cr
& {t_2} = {{13 – 5} \over {2.1}} = {8 \over 2} = 4 \cr
& {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3 \cr
& {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2 \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = – 3;{x_3} = 2;{x_4} = – 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
b)
\(\eqalign{
& 2{x^4} + {x^2} – 3 = {x^4} + 6{x^2} + 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} – 5{x^2} – 6 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} – 5t – 6 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0;1 – \left( { – 5} \right) + \left( { – 6} \right) = 0\)
\({t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 6} \over 1} = 6\)
t1 = -1 < 0: loại
\({x^2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 6 \)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = \sqrt 6 ;{x_2} = – \sqrt 6 \)
c)
\(\eqalign{
& 3{x^4} – 6{x^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{3{x^2} = 0} \cr
{{x^2} – 2 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x = \pm \sqrt 2 } \cr} } \right.} \right. \cr} \)
Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = \sqrt 2 ;{x_3} = – \sqrt 2 \)
d) \(5{x^4} – 7{x^2} – 2 = 3{x^4} – 10{x^2} – 3 \Leftrightarrow 2{x^4} + 3{x^2} + 1 = 0\)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \(2{t^2} + 3t + 1 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0;2 – 3 + 1 = 0\)
\({t_1} = – 1;{t_2} = – {1 \over 2}\)
Cả hai giá trị t1 và t2 đều nhỏ hơn 0: loại.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 70
Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {{x^2} – 2x} \right)^2} – 2{x^2} + 4x – 3 = 0\)
b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} – x = {x^2} + 3\)
a)
\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} – 2x} \right)^2} – 2{x^2} + 4x – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 2x} \right)^2} – 2\left( {{x^2} – 2x} \right) – 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} – 2x = t,\) ta có phương trình: \({t^2} – 2t – 3 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0;1 – \left( { – 2} \right) + \left( { – 3} \right) = 0\)
\({t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 3} \over 1} = 3\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} – 2x = – 1 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 1} \right)^2} – 1.1 = 1 – 1 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm số kép: x1 = x2 = 1
\({x^2} – 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0;1 – \left( { – 2} \right) + \left( { – 3} \right) = 0\)
\({x_1} = – 1;{x_2} = – {{ – 3} \over 1} = 3\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = – 1;{x_3} = 3\)
b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} – x = {x^2} + 3,\) ta có: \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 – 3\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2 = 0\)
Đặt \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} – 3t + 2 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;1 + \left( { – 3} \right) + 2 = 0\)
\({t_1} = 1;{t_2} = 2\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x = – 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr
& \Rightarrow {x^2} + x – 3 = 0 \cr
& \Delta = {1^2} – 4.1.\left( { – 3} \right) = 1 + 12 = 13 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr
& {x_1} = {{ – 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ – 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ – 1 – \sqrt {13} } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = {{ – 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ – 1 – \sqrt {13} } \over 2}\)
