Câu 59: Một xuồng máy xuôi dòng 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trong sông là 3km/h.
Gọi vận tốc thuyền khi đi trên hồ là x (km/h); điều kiện: x > 3
Vận tốc khi đi xuôi dòng trên sông là x + 3 (km/h)
Vận tốc khi đi ngược dòng trên sông là x – 3 (km/h)
Thời gian đi xuôi dòng bằng \({{30} \over {x + 3}}\) giờ
Thời gian đi ngược dòng bằng \({{28} \over {x – 3}}\) giờ
Thời gian đi trên hồ bằng \({{59,5} \over x}\) giờ
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {{30} \over {x + 3}} + {{28} \over {x – 3}} = {{59,5} \over x} \cr
& \Rightarrow 60x\left( {x – 3} \right) + 56x\left( {x + 3} \right) = 119\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right) \cr
& \Leftrightarrow 60{x^2} – 180x + 56{x^2} + 168x = 119{x^2} – 1071 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x – 1071 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 357 = 0 \cr
& \Delta ‘ = 4 + 357 = 361 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {361} = 19 \cr
& {x_1} = {{ – 2 + 19} \over 1} = 17 \cr
& {x_2} = {{ – 2 – 19} \over 1} = – 21 \cr} \)
x2 = -21 < 3 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy vận tốc thuyền đi trên hồ yên lặng là 17km/h
Câu 60: Một bè gỗ được thả trôi trên sông từ đập Ya-ly. Sau khi thả bè gỗ 5 giờ 20 phút, một xuồng máy cũng xuất phát từ đập Ya-ly đuổi theo và đi được 20km thì gặp bè. Tính vận tốc của bè biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè 12km/h.
Gọi vận tốc của bè là x (km/h); điều kiện: x > 0
Thì vận tốc của ca nô là x + 12 km/h
Advertisements (Quảng cáo)
Thời gian bè từ lúc trôi đến lúc gặp ca nô là \({{20} \over x}\) giờ
Thời gian ca nô lúc đi đến lúc gặp bè là \({{20} \over {x + 12}}\) giờ
Bè gỗ trôi trước ca nô 5 giờ 20 phút bằng \(5{1 \over 3}\) giờ = \({{16} \over 3}\) giờ
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {{20} \over x} – {{20} \over {x + 12}} = {{16} \over 3} \cr
& \Rightarrow 60\left( {x + 12} \right) – 60x = 16x\left( {x + 12} \right) \cr
& \Leftrightarrow 60x + 720 – 60x = 16{x^2} + 192x \cr
& \Leftrightarrow 16{x^2} + 192x – 720 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 12x – 45 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {6^2} – 1\left( { – 45} \right) = 36 + 45 = 81 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {81} = 9 \cr
& {x_1} = {{ – 6 + 9} \over 1} = 3 \cr
& {x_2} = {{ – 6 – 9} \over 1} = – 15 \cr} \)
x2 = -15 < 0 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy vận tốc của bè gỗ trôi là 3km/h
Câu 61: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước) Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
Gọi thời gian chảy riêng đầy bể của vòi thứ nhất là x giờ
Advertisements (Quảng cáo)
Điều kiện: \(x > 2{{11} \over {12}}\)
Thì thời gian chảy riêng đầy bể của vòi thứ hai là x + 2 giờ
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được \({1 \over x}\) bể
Trong một giờ vòi thứ hai chảy được \({1 \over {x + 2}}\) bể
Trong một giờ cả hai vòi chảy được \(1:2{{11} \over {12}} = {{12} \over {35}}\) bể
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {1 \over x} + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {35}} \cr
& \Rightarrow 35\left( {x + 2} \right) + 35x = 12x\left( {x + 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow 35x + 70 + 35x = 12{x^2} + 24x \cr
& \Leftrightarrow 12{x^2} – 46x – 70 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 6{x^2} – 23x – 35 = 0 \cr
& \Delta = 529 + 840 = 1369 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {1369} = 37 \cr
& {x_1} = {{23 + 37} \over {2.6}} = 5 \cr
& {x_2} = {{23 – 37} \over {2.6}} = – {7 \over 6} \cr} \)
x2 = \( – {7 \over 6} < 2{{11} \over {12}}\) không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy: vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể sau 5 giờ
Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể sau 5 + 2 = 7 giờ
Câu 62: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc) Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc?
Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong nửa công việc là x ngày
Điều kiện: 6 < x < 25
Thì thời gian làm riêng xong nửa công việc của đội thứ hai là 25 – x ngày
Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được \({1 \over {2x}}\) công việc
Trong một ngày đội thứ hai làm được \({1 \over {2\left( {25 – x} \right)}}\) công việc
Trong một ngày cả hai đội làm được \({1 \over {12}}\) công việc
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {1 \over {2x}} + {1 \over {2\left( {25 – x} \right)}} = {1 \over {12}} \cr
& \Rightarrow 24\left( {25 – x} \right) + 24x = 4x\left( {25 – x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 600 – 24x + 24x = 100x – 4{x^2} \cr
& \Leftrightarrow 4{x^2} – 100x + 600 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 25x + 150 = 0 \cr
& \Delta = 625 – 600 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{25 + 5} \over {2.1}} = 15 \cr
& {x_2} = {{25 – 5} \over {2.1}} = 10 \cr} \)
Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy đội thứ nhất làm riêng xong công việc 30 ngày thì đội thứ hai làm riêng xong trong 20 ngày.
Hoặc đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 20 ngày thì đội thứ hai làm riêng xong trong 30 ngày.
