Câu 47: Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba Ngần cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lên thị xã. Họ gặp nhau khi bác Toàn đã đi được 1 giờ rưỡi, còn cô Ba Ngần đã đi được 2 giờ. Một lần khác hai người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau 1 giờ 15 phút họ còn cách nhau 10,5km. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cách thị xã 38km.
Gọi vận tốc của bác Toàn đi là x (km/h)
Vận tốc cô Ba Ngần đi là y (km/h)
Điều kiện: x > 0; y > 0
Vì hai người đi ngược chiều nhau. Bác Toàn đi 1 giờ 30 phút, cô Ba Ngần đi 2 giờ thì gặp nhau.
Ta có phương trình: 1,5x + 2y = 38
Quãng đường bác Toàn đi trong 1 giờ 15 phút \( = {5 \over 4}\) giờ là \({5 \over 4}x\) (km)
Quãng đường cô Ba Ngần đi trong 1 giờ 15 phút \( = {5 \over 4}\) giờ là \({5 \over 4}y\) (km)
Hai người còn cách nhau 10,5 km ta có phương trình:
\({5 \over 4}x + {5 \over 4}y = 38 – 10,5\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,5x + 2y = 38} \cr
{{5 \over 4}x + {5 \over 4}y = 38 – 10,5} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x + 4y = 76} \cr
{5x + 5y = 110} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15x + 20y = 380} \cr
{15x + 15y = 330} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5y = 50} \cr
{5x + 5y = 110} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 10} \cr
{5x + 5.10 = 110} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 10} \cr
{x = 12} \cr} } \right. \cr} \)
x = 12; y = 10 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy: Vận tốc của bác Toàn đi là 12 km/h
Vận tốc của cô Ba Ngần đi là 10 km/h.
Câu 48: Ga Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65km. Xe khách ở Thành phố Hồ Chí Minh, xe hàng ở Dầu Giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe hàng 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút nó gặp xe hàng. Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng.
Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h)
Vận tốc xe hàng là y (km/h)
Điều kiện: x > y > 0. Đổi 24 phút \( = {2 \over 5}\) giờ
Advertisements (Quảng cáo)
Sau khi xe khách đi được \({2 \over 5}\) giờ thì xe hàng đi được 36 + 24 = 60 phút = 1 giờ
Hai xe đi ngược nhau gặp nhau, ta có phương trình: \({2 \over 5}x + y = 65\)
Hai xe khởi hành cùng một lúc cùng đi Hà Nội sau 13 giờ gặp nhau, ta có phương trình:
\(13x – 13y = 65\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{2 \over 5}x + y = 65} \cr
{13x – 13y = 65} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 325} \cr
{x – y = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 325} \cr
{2x – 2y = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7y = 315} \cr
{x – y = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 45} \cr
{x – 45 = 5} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 45} \cr
{x = 50} \cr} } \right. \cr} \)
x = 50; y = 45 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy: Vận tốc của xe khách là 50 km/h
Vận tốc của xe hàng là 45 km/h.
Câu 49: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?
Gọi số thợ cần thiết để làm xong là x (người)
Thời gian dự định để làm xong là y (ngày)
Advertisements (Quảng cáo)
Điều kiện: x ∈ N*, y > 0
Số ngày công để hoàn thành công việc là xy (ngày)
Nếu giảm 3 người thì thời gian tăng thêm 6 ngày, ta có phương trình:
\(\left( {x – 3} \right)\left( {y + 6} \right) = xy\)
Nếu tăng 2 người thì thời gian làm giảm 2 ngày, ta có phương trình:
\(\left( {x + 2} \right)\left( {y – 2} \right) = xy\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x – 3} \right)\left( {y + 6} \right) = xy} \cr
{\left( {x + 2} \right)\left( {y – 2} \right) = xy} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{xy + 6x – 3y – 18 = xy} \cr
{xy – 2x + 2y – 4 = xy} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x – y = 6} \cr
{ – x + y = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 8} \cr
{ – x + y = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 8} \cr
{y = 10} \cr} } \right. \cr} \)
x = 8; y = 10 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy cần có 8 người thợ làm trong 10 ngày.
Câu 50: Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho $AG = AD + {3 \over 2}EB.\). Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng $100 + 4\sqrt {13} \) (cm)
Theo giả thiết ta có: EB = 2x (cm)
Điều kiện: y > 2x > 0
AE = AB – EB = y – 2x (cm)
AG = AD + DG \( = y + {3 \over 2}EB = y + {3 \over 2}.2x = y + 3x\) (cm)
Diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông, ta có phương trình:
\(\left( {y – 2x} \right)\left( {y + 3x} \right) = {y^2}\)
Mặt khác theo định lí Pitago ta có:
\(FC = \sqrt {E{B^2} + D{G^2}} = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}} = x\sqrt {13} \) (cm)
Chu vi của ngũ giác ABCFG bằng:
\(\eqalign{
& AB + BC + CF + FG + GA \cr
& = AB + BC + CF + FG + GD + AD \cr
& = y + y + x\sqrt {13} + y – 2x + 3x + y \cr
& = x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y \cr} \)
Chu vi ngũ giác bằng \(100 + 4\sqrt {13} \) (cm), ta có phương trình:
\(x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y = 100 + 4\sqrt {13} \)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {y – 2x} \right)\left( {y + 3x} \right) = {y^2}} \cr
{x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{y^2} + 3xy – 2xy – 6{x^2} = {y^2}} \cr
{\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{xy – 6{x^2} = 0} \cr
{\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x\left( {y – 6x} \right) = 0} \cr
{\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y – 6x = 0} \cr
{\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6x} \cr
{\left( {1 + \sqrt {13} } \right)x + 4.6x = 100 + 4\sqrt {13} } \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6x} \cr
{\left( {25 + \sqrt {13} } \right)x = 100 + 4\sqrt {13} } \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6x} \cr
{x = {{4\left( {25 + \sqrt {13} } \right)} \over {25 + \sqrt {13} }}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6x} \cr
{x = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 24} \cr
{x = 4} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị x = 4 và y = 24 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy x = 4 (cm); y = 24 (cm).
