Câu 29: Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A (4; 3), B(-6; -7).
Đường thẳng ax – by = 4 đi qua A(4; 3) và B(-6; -7) nên tọa độ A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Điểm A: 4a – 3b = 4
Điểm B: – 6a + 7b = 4
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a – 3b = 4} \cr
{ – 6a + 7b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12a – 9b = 12} \cr
{ – 12a + 14b = 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5b = 20} \cr
{4a – 3b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr
{4a – 3.4 = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr
{4a = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr
{a = 4} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 4; b = 4.
Câu 30: Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} } \right.\);
cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s, 3y + 2 = t):
\(a)\left\{ {\matrix{
{2\left( {3x – 2} \right) – 4 = 5\left( {3y + 2} \right)} \cr
{4\left( {3x – 2} \right) + 7\left( {3y + 2} \right) = – 2} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 5\left( {x – y} \right) = 12} \cr
{ – 5\left( {x + y} \right) + 2\left( {x – y} \right) = 11} \cr} } \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Cách 1:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2\left( {3x – 2} \right) – 4 = 5\left( {3y + 2} \right)} \cr
{4\left( {3x – 2} \right) + 7\left( {3y + 2} \right) = – 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x – 4 – 4 = 15y + 10} \cr
{12x – 8 + 21y + 14 = – 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x – 15y = 18} \cr
{12x + 21y = – 8} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x – 30y = 36} \cr
{12x + 21y = – 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x – 15y = 18} \cr
{51y = – 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x – 5y = 6} \cr
{y = – {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 6 – {{220} \over {51}}} \cr
{y = – {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = {{86} \over {51}}} \cr
{y = – {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{43} \over {51}}} \cr
{y = – {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \)
Cách 2: Đặt 3x – 2 = s, 3y + 2 = t ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2s – 4 = 5t} \cr
{4s + 7t = – 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4s – 10t = 8} \cr
{4s + 7t = – 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{17t = – 10} \cr
{2s – 5t = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = – {{10} \over {17}}} \cr
{2s – 5t = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = – {{10} \over {17}}} \cr
{2s – 5.\left( { – {{10} \over {17}}} \right) = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = – {{10} \over {17}}} \cr
{2s = 4 – {{50} \over {17}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = – {{10} \over {17}}} \cr
{s = {9 \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3x – 2 = {9 \over {17}}} \cr
{3y + 2 = – {{10} \over {17}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x = 2 + {9 \over {17}}} \cr
{3y = – {{10} \over {17}} – 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x = {{43} \over {17}}} \cr
{3y = – {{44} \over {17}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{43} \over {51}}} \cr
{y = – {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( {{{43} \over {51}}; – {{44} \over {51}}} \right)\)
b) Cách 1:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 5\left( {x – y} \right) = 12} \cr
{ – 5\left( {x + y} \right) + 2\left( {x – y} \right) = 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x + 3y + 5x – 5y = 12} \cr
{ – 5x – 5y + 2x – 2y = 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8x – 2y = 12} \cr
{ – 3x – 7y = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x – y = 6} \cr
{3x + 7y = – 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x – 3y = 18} \cr
{12x + 28y = – 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{31y = – 62} \cr
{4x – y = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – 2} \cr
{4x + 2 = 6} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – 2} \cr
{x = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Cách 2: Đặt x + y = s; x – y = t ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3s + 5t = 12} \cr
{ – 5s + 2t = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15s + 25t = 60} \cr
{ – 15s + 6t = 33} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{31t = 93} \cr
{ – 5s + 2t = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = 3} \cr
{ – 5s + 2.3 = 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = 3} \cr
{s = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{x + y = – 1} \cr
{x – y = 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 2} \cr
{x – y = 3} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{1 – y = 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = – 2} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (1; -2).
Câu 31: Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{{{x + 1} \over 3} – {{y + 2} \over 4} = {{2\left( {x – y} \right)} \over 5}} \cr
{{{x – 3} \over 4} – {{y – 3} \over 3} = 2y – x} \cr} } \right.\)
cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.
Giải hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left( I \right)\left\{ {\matrix{
{{{x + 1} \over 3} – {{y + 2} \over 4} = {{2\left( {x – y} \right)} \over 5}} \cr
{{{x – 3} \over 4} – {{y – 3} \over 3} = 2y – x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{20x + 20 – 15y – 30 = 24x – 24y} \cr
{3x – 9 – 4y + 12 = 24y – 12x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x – 9y = – 10} \cr
{15x – 28y = – 3} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{60x – 135y = – 150} \cr
{60x – 112y = – 12} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ – 23y = – 138} \cr
{4x – 9y = – 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{4x – 9.6 = – 10} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{4x = 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{x = 11} \cr} } \right. \cr} \)
Cặp (x; y) = (11; 6) là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1
Thay x = 11; y = 6 ta có:
\(33m – 30 = 2m + 1 \Leftrightarrow 31m = 31 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy với m = 1 thì nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của phương trình:
3mx – 5y = 2m + 1.
