Câu 9: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Giả sử tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {90^0},AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\) và \(BH < CH\)
Ta có: \(BH + CH = 5\) (1)
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:
\(BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(BH = 1\) và \(CH = 4\)
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\(A{B^2} = BH.BC = 1.5 = 5\)
Suy ra: \(AB = \sqrt 5 \).
Câu 10: Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Giả sử tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {90^0 },AH \bot BC,BC = 125cm,{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\)
Từ \({{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\) suy ra: \({{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}}\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\({{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {25}}\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {125^2} = 15625 \cr} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{15625} \over {25}} = 625\) (3)
Từ (3) suy ra :
\(A{B^2} = 9.625 = 5625 \Rightarrow AB = \sqrt {5625} = 75(cm)\)
\(A{C^2} = 16.625 = 10000 \Rightarrow AB = \sqrt {10000} = 100(cm)\)
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = {{A{B^2}} \over {BC}} = {{{{75}^2}} \over {125}} = 45(cm)\)
\(CH = BC – BH = 125 – 45 = 80(cm)\)
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \({{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\), đường cao \(AH = 30cm\). Tính HB, HC.
Advertisements (Quảng cáo)
Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^0}\)
\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\))
Vậy ∆AHB đồng dạng ∆CHA (g.g)
Suy ra: \({{AH} \over {HC}} = {{AB} \over {CA}}.\) (1)
Theo đề bài: \({{AB} \over {AC}} = {5 \over 6}\) và \(AH = 30(cm)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({{30} \over {HC}} = {5 \over 6} \Rightarrow HC = {{30.6} \over 5} = 36(cm)\)
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\(A{H^2} = HB.HC \Rightarrow HB = {{A{H^2}} \over {HC}} = {{{{30}^2}} \over {36}} = 25(cm)\)
Câu 12: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R.
Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230km nên tam giác AOB cân tại O.
Ta có: \(OA = R + 230\)
\( = 6370 + 230 = 6600(km)\)
Trong tam giác AOB ta có: \(OA \bot AB\)
Suy ra: \(HA = HB = {{AB} \over 2} = {{2200} \over 2} = 1100(km)\)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO ta có: \(A{O^2} = A{H^2} + O{H^2}\)
Suy ra: \(O{H^2} = O{A^2} – A{H^2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& OH = \sqrt {O{A^2} – A{H^2}} \cr
& = \sqrt {{{6600}^2} – {{1100}^2}} = \sqrt {42350000} \approx 6508(km) \cr} \)
Vì \(OH > R\) nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.
