Câu I.1: Tam giác ABC có \(\widehat A = 105^\circ \), \(\widehat B = 45^\circ \), BC = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Vẽ đường cao AH. Đặt BH = x, CH = y thì do H nằm giữa B và C ( hai góc $$\widehat B,\widehat C$$ là góc nhọn) suy ra x + y = 4 (xem h.bs.18).
Ta có BH = AH = HCtg30º nên x = \(ytg30^\circ = {y \over {\sqrt 3 }}\).
Vậy ta được \(x + \sqrt {3x} = 4\), suy ra \(x = {4 \over {1 + \sqrt 3 }} \approx 1,46\,(cm)\)
Vậy \(AB = {{AH} \over {\sin 45^\circ }} = {{2AH} \over {\sqrt 2 }} \approx 2,06\,(cm)\)
\(AC = 2AH \approx 1,46.2 = 2,92\,(cm)\)
Câu I.2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos \(\widehat {MAN}\)
Advertisements (Quảng cáo)
(h.bs.19).
Kẻ đường cao MH của tam giác cân AMN. Ta có \(\sin \widehat {NAM} = {{HM} \over {AM}}\) và diện tích tam giác AMN là:
\(\eqalign{
& {S_{AMN}} = {1 \over 2}AN.MH = {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \cr
& = {1 \over 2}A{N^2}\sin \widehat {NAM} \cr} \)
\( = {1 \over 2}(A{D^2} + D{N^2})\sin \widehat {NAM} = {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)
Mặt khác:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& {S_{AMN}} = {S_{ABCD}} – {S_{ABM}} – {S_{ADM}} – {S_{MNC}} \cr
& = 4{a^2} – 2{a^2} – {{{a^2}} \over 2} = {{3{a^2}} \over 2}. \cr} \)
Suy ra \(\sin \widehat {NAM} = {3 \over 5}\)
Từ đó:
\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\widehat {NAM}} = \sqrt {1 – {9 \over {25}}} = {4 \over 5}.\)
Câu I.3: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Hãy tính góc A và các cạnh AB, BC, nếu biết
BH = h và \(\widehat C = \alpha .\)
(h.bs.20).
\(\widehat A = 180^\circ – 2\alpha .\)
Tam giác vuông HBC có \(BC = {h \over {\sin \alpha }}\).
Kẻ đường cao AI của tam giác ABC thì được \(AC = {{IC} \over {\cos \alpha }} = {{{{BC} \over 2}} \over {{\rm{cos}}\alpha }} = {h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
Vậy AB = AC = \({h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
