Câu 84: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
a) Chứng minh: \({{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)
b) Chứng minh ∆BDE đồng dạng ∆CDB
c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách
Cách 1: sử dụng kết quả ở câu b);
Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.
a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:
\(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)
Suy ra: \(BD = a\sqrt 2 \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr
& {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy \({{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)
b) Xét ∆BDE và ∆CDB, ta có:
\({{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\,(1)\)
\(\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB.
c) * Cách 1:
Ta có: ∆BDE đồng dạng ∆CDE \(\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\)
Mặt khác:
\(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\,(3)\)
Trong ∆BCD, ta có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {CBD} = \widehat {BCD}\) (tính chất góc ngoài) (4)
\(\widehat {ADB} = 45^\circ \) (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)
* Cách 2:
Trong tam giác ABC, ta có:
\(tg\widehat {AEB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: \(\widehat {AEB} = 26^\circ 34’\)
Advertisements (Quảng cáo)
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(tg\widehat {ACB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}\)
Suy ra: \(\widehat {ACB} = 18^\circ 26’\)
Vậy: \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)
Câu 85 (h.31) Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m.
Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh của một tam giác cân. Chiều cao cảu mái nhà chia góc ở đỉnh ra thành hai phần bằng nhau.
Ta có:
\(\cos {\alpha \over 2} = {{AH} \over {AB}} = {{0,8} \over {2,34}} \approx 0,4319\)
Suy ra: \({\alpha \over 2} = 70^\circ \)
Vậy \(\alpha = 140^\circ \).
Câu 86: Cho hình 32
Biết:
\(AD \bot DC,\widehat {DAC} = 74^\circ \)
\(\widehat {AXB} = 123^\circ ,AD = 2,8\,cm\)
AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.
a) Tính AC.
b) Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY ⁄⁄ BX. Hãy tính XY
Advertisements (Quảng cáo)
c) Tính diện tích tam giác BCX
a) Trong tam giác vuông ACD, ta có:
\(AC = {{AD} \over {\cos \widehat {CAD}}} = {{2,8} \over {\cos 74^\circ }} \approx 10,158\,(cm)\)
b) Kẻ \(DN \bot AC\)
Trong tam giác vuông AND, ta có:
\(\eqalign{
& DN = AD.\sin \widehat {DAN} \cr
& = 2,8.\sin 74^\circ \approx 2,692\,(cm) \cr} \)
\(\eqalign{
& AN = AD.\cos \widehat {DAN} \cr
& = 2,8.\cos 74^\circ \approx 0,772\,(cm) \cr} \)
Vì BX // DY nên \(\widehat {D{\rm{YX}}} = \widehat {BXY} = 123^\circ \) ( hai góc so le trong)
Mà \(\widehat {DYN} + \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ \) (kề bù)
Suy ra:
\(\widehat {DYN} = 180^\circ – \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ – 123^\circ = 57^\circ \)
Trong tam giác vuông DYN, ta có:
\(\eqalign{
& NY = DN.\cot g\widehat {DYN} \cr
& \approx 2,692.\cot g57^\circ \approx 1,748\,(cm) \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& XY = AX – (AN + NY) \cr
& = 5,5 – (0,772 + 1,748) = 2,98\,(cm) \cr} \)
c) Ta có:
\(CX = AC – AX \approx 10,158 – 5,5 = 4,658\,(cm)\)
Kẻ \(BM \bot CX\)
Ta có:
\(\widehat {BXC} = 180^\circ – \widehat {BXA} = 180^\circ – 123^\circ = 57^\circ \)
Trong tam giác vuông BMX, ta có:
\(\eqalign{
& BM = BX.\sin \widehat {BXC} \cr
& = 4,1.\sin 57^\circ \approx 3,439\,(cm) \cr} \)
\(\eqalign{
& {S_{BCX}} = {1 \over 2}BM.CX \cr
& = {1 \over 2}.3,439.4,658 = 8,009\,\left( {c{m^2}} \right). \cr} \)
Câu 87: Tam giác ABC có \(\hat A = 20^\circ ,\widehat B = 30^\circ ,AB = 60cm\). Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. (h.33).
Hãy tìm:
a) AP, BP;
b) CP.
a) Trong tam giác vuông ACP, ta có:
\(AP = CP.\cot g\widehat {PAC}\,(1)\)
Trong tam giác vuông BCP, ta có:
\(BP = CP.\cot g\widehat {PBC}\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\((AP + BP) = CP.\cot g\widehat {PAC} + CP.\cot g\widehat {PBC}\)
Hay \(AB = CP(\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC})\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& CP = {{AB} \over {\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC}}} \cr
& = {{AB} \over {\cot g20^\circ + \cot g30^\circ }} \approx 13,394\,(cm) \cr} \)
b) Thay CP = 13,394 vào (1) ta có:
\(AP = 13,394.\cot g20^\circ \approx 36,801\,(cm)\)
Thay CP = 13,394 vào (2) ta có:
\(BP = 13,394.\cot g30^\circ \approx 27,526\,(cm)\)
