Câu III.1: Giải các hệ phương trình
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 8} \right)} \cr
{\left( {2x – 3} \right)\left( {5y + 7} \right) = 2\left( {5x – 6} \right)\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{{2x – 3} \over {2y – 5}} = {{3x + 1} \over {3y – 4}}} \cr
{2\left( {x – 3} \right) – 3\left( {y + 2} \right) = – 16} \cr} } \right.\)
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 8} \right)} \cr
{\left( {2x – 3} \right)\left( {5y + 7} \right) = 2\left( {5x – 6} \right)\left( {y + 1} \right)} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{xy + 5x + 3y + 15 = xy + 8x + y + 8} \cr
{10xy + 14x – 15y – 21 = 10xy + 10x – 12y – 12} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x – 2y = 7} \cr
{4x – 3y = 9} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{9x – 6y = 21} \cr
{8x – 6y = 18} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{4x – 3y = 9} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{4.3 – 3y = 9} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (3; 1)
b)
\(\left\{ {\matrix{
{{{2x – 3} \over {2y – 5}} = {{3x + 1} \over {3y – 4}}} \cr
{2\left( {x – 3} \right) – 3\left( {y + 2} \right) = – 16} \cr} } \right.\)
Điều kiện: \(y \ne 2,5;y \ne {4 \over 3}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {2x – 3} \right)\left( {3y – 4} \right) = \left( {3x + 1} \right)\left( {2y – 5} \right)} \cr
{2x – 6 – 3y – 6 = – 16} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6xy – 8x – 9y + 12 = 6xy – 15x + 2y – 5} \cr
{2x – 3y = – 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7x – 11y = – 17} \cr
{2x – 3y = – 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{14x – 22y = – 34} \cr
{14x – 21y = – 28} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{2x – 3y = – 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{2x – 3.6 = – 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{x = 7} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (7; 6)
Câu III.2: Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được 630 tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được 500 tấn?
Gọi khối lượng lúa thu được năm ngoái của cánh đồng thứ nhất là x (tấn)
Cánh đồng thứ hai thu được là y (tấn)
Điều kiện: x > 0; y > 0
Năm ngoái cả hai cánh đồng thu được là 500 tấn, ta có phương trình:
x + y = 500
Số lượng lúa cánh đồng thứ nhất năm nay tăng 30% bằng \({3 \over {10}}x\) (tấn)
Advertisements (Quảng cáo)
Lượng lúa cánh đồng thứ hai tăng 20% bằng \({2 \over {10}}y\) (tấn)
Năm nay cả 2 cánh đồng tăng được 630 – 500 = 130 tấn, ta có phương trình:
\({3 \over {10}}x + {2 \over {10}}y = 130\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{x + y = 500} \cr
{{3 \over {10}}x + {2 \over {10}}y = 130} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 500} \cr
{3x + 2y = 1300} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 2y = 1000} \cr
{3x + 2y = 1300} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 300} \cr
{x + y = 500} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 300} \cr
{y = 200} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị x = 300; y = 200 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy năm nay thuở ruộng thứ nhất thu được: \(300 + 300.{{30} \over {100}} = 390\) tấn
Thuở ruộng thứ hai năm nay thu được: 630 – 390 = 240 tấn
Câu III.3: Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm 15 tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.
Gọi khối lượng quặng loại thứ nhất là x ( tấn), loại thứ hai là y (tấn)
Điều kiện: x > 0; y > 0
Advertisements (Quảng cáo)
Lượng sắt nguyên chất có trong mỗi loại quặng bằng lượng sắt có trong hỗn hợp ta có phương trình:
\({{72} \over {100}}x + {{58} \over {100}}y = {{62} \over {100}}\left( {x + y} \right)\)
Thêm mỗi loại quặng 15 tấn ta được hỗn hợp chứa 63,25% sắt, ta có phương trình:
\({{72} \over {100}}\left( {x + 15} \right) + {{58} \over {100}}\left( {y + 15} \right) = {{63,25} \over {100}}\left( {x + y + 30} \right)\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{{72} \over {100}}x + {{58} \over {100}}y = {{62} \over {100}}\left( {x + y} \right)} \cr
{{{72} \over {100}}\left( {x + 15} \right) + {{58} \over {100}}\left( {y + 15} \right) = {{63,25} \over {100}}\left( {x + y + 30} \right)} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{72x + 58y = 62\left( {x + y} \right)} \cr
{72\left( {x + 15} \right) + 58\left( {y + 15} \right) = 63,25\left( {x + y + 30} \right)} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{10x – 4y = 0} \cr
{72x + 1080 + 58y + 870 = 63,25x + 63,25y + 1897,5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x – 2y = 0} \cr
{8,75x – 5,25y = – 52,5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x – 2y = 0} \cr
{5x – 3y = – 30} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 30} \cr
{5x – 2y = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 30} \cr
{x = 12} \cr} } \right. \cr} \)
Cả hai giá trị x = 12; y = 30 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy loại quặng thứ nhất có 12 tấn, loại quặng thứ hai có 30 tấn.
Câu III.4: Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản A đến bản B. Người đi ngựa đến B trước người đi bộ 50 phút rồi lập tức quay trở về A và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách B là 2km. Trên cả quãng đường từ A đến B và ngược lại, người đi ngựa đi hết 1 giờ 40 phút. Hãy tính khoảng cách AB và vận tốc của mỗi người.
Gọi khoảng cách giữa hai bản A và B là x (km)
Vận tốc của người đi bộ là y (km/h)
Điều kiện: x > 0; y > 0
Người đi ngựa cả đi và về hết 1 giờ 40 phút \( = {5 \over 3}\) giờ nên người đi ngựa đi từ A đến B hết \({5 \over 3}:2 = {5 \over 6}\) giờ.
Vận tốc của người đi ngựa bằng \(x:{5 \over 6} = {6 \over 5}x\) (km/h)
Thời gian người đi bộ đi hết quãng đường AB là \({x \over y}\) giờ
Người đi ngựa đến trước 50 phút \( = {5 \over 6}\) giờ, ta có phương trình:
\({x \over y} – {5 \over 6} = {5 \over 6} \Leftrightarrow 3x = 5y\) (1)
Từ (1) ⇒ \(6x = 10y \Leftrightarrow {6 \over 5}x = 2y.\) Điều này có nghĩa là vận tốc người đi ngựa gấp đôi người đi bộ nên vận tốc người đi ngựa là 2y (km/h).
Từ lúc đi đến lúc gặp nhau người đi bộ đi được x – 2 (km), người đi ngựa đi được x + 2 (km).
Vì từ lúc đi đến lúc gặp thời gian hai người bằng nhau, ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {{x – 2} \over y} = {{x + 2} \over {2y}} \cr
& \Leftrightarrow 2x – 4 = x + 2 \cr} \)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3x = 5y} \cr
{2x – 4 = x + 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x = 5y} \cr
{x = 6} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3.6 = 5y} \cr
{x = 6} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr
{y = 3,6} \cr} } \right. \cr} \)
x = 6 và y = 3,6 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy khoảng cách giữa hai bản là 6km
Vận tốc người đi bộ là 3,6 km/h
Vận tốc người đi ngựa là 7,2 km/h
