Câu 44. Chứng minh rằng
\({1.2^2} + {2.3^2} + … + \left( {n – 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} – 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}\) (1)
Với mọi số nguyên \(n ≥ 2\)
+) Với \(n = 2\) ta có :
\({1.2^2} = {{2\left( {{2^2} – 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)} \over {12}} = 4\)
Vậy (1) đúng với \(n = 2\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :
\({1.2^2} + {2.3^2} + … + \left( {k – 1} \right){k^2} = {{k\left( {{k^2} – 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
\(\eqalign{
& {1.2^2} + {2.3^2} + … + \left( {k – 1} \right).{k^2} + k.{\left( {k + 1} \right)^2} \cr
& = {{k\left( {{k^2} – 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k – 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]} \over {12}} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)} \over {12}} \cr
& = {{k\left( {k + 1} \right)\left[ { {3k\left( {k + 2} \right)} + 5\left( {k + 2} \right)} \right]} \over {12}} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)} \over {12}} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]} \over {12}} \cr} \)
Điều đó chứng tỏ (1) đúng với \(n = k + 1\)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)
Câu 45. Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n – 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)
Chứng minh rằng \({u_n} = {{{2^{n – 1}} + 1} \over {{2^{n – 1}}}}\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 – 1}} + 1} \over {{2^{1 – 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là:
\(u_k={{{2^{k – 1}} + 1} \over {{2^{k – 1}}}}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có:
\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k – 1}} + 1} \over {{2^{k – 1}}}} + 1} \over 2} = {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)
Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)
Câu 46. Cho các dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}}\text{ và }{v_n} = {{2n} \over {n + 1}}\)
a. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (an) với an = un + vn
b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (bn) với bn = un – vn
c. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (cn) với cn = un.vn
d. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (dn) với \({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}}\)
Chú ý
Các dãy số (an), (bn), (cn), (dn) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (un + vn), (un – vn), (un.vn),\(\left( {{{{u_n}} \over {{v_n}}}} \right)\).
a. Ta có:
\({a_n} = {u_n} + {v_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} + {{2n} \over {n + 1}} = {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {n + 1}} = n + 1\)
b. Ta có:
\({b_n} = {u_n} – {v_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}} – {{2n} \over {n + 1}} = {{{{\left( {n – 1} \right)}^2}} \over {n + 1}}\)
c. Ta có:
\({c_n} = {u_n}{v_n} = {{2n\left( {{n^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
d. Ta có:
\({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}} = {{{n^2} + 1} \over {2n}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 47. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.
a. Dãy số (un) với un = 8n + 3
b. Dãy số (un) với \({u_n} = {n^2} + n + 1\)
c. Dãy số (un) với \({u_n} = {3.8^n}\)
d. Dãy số (un) với \({u_n} = \left( {n + 2} \right){.3^n}\)
a. Ta có:
\({u_{n + 1}} – {u_n} = 8\left( {n + 1} \right) + 3 – \left( {8n + 3} \right) = 8,\forall n \ge 1\)
Suy ra (un) là cấp số cộng với công sai \(d = 8\)
b. Ta có:
\({u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + \left( {n + 1} \right) + 1 – {n^2} – n – 1 = 2\left( {n + 1} \right)\) không là hằng số
Vậy (un) không là cấp số cộng.
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{n^2} + 3n + 3} \over {{n^2} + n + 1}}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số nhân.
c.\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{3.8}^{n + 1}}} \over {{{3.8}^n}}} = 8,\forall n \ge 1.\) Do đó (un) là cấp số nhân với công bội \(q = 8\).
d.\({u_{n + 1}} – {u_n} = \left( {n + 3} \right){.3^{n + 1}} – \left( {n + 2} \right){3^n} = {3^n}\left( {3n + 9 – n – 2} \right) = \left( {2n + 7} \right){3^n}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số cộng.
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{\left( {n + 3} \right){{.3}^{n + 1}}} \over {\left( {n + 2} \right){{.3}^n}}} = {{3n + 9} \over {n + 2}}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số nhân.
Câu 48. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :
a. Dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi n ≥ 1
là một cấp số cộng.
b. Dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi n ≥ 1,
là một cấp số cộng.
c. Dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 4\text{ và }{u_{n + 1}} = 5{u_n}\) với mọi n ≥ 1,
là một cấp số nhân.
Advertisements (Quảng cáo)
d. Dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 1\text{ và } {u_{n + 1}} = n{u_n}\) với mọi n ≥ 1
là một cấp số nhân.
a. Đúng vì \({u_{n + 1}} – {u_n} = 5,\forall n \ge 1\)
b. Sai vì \({u_{n + 1}} – {u_n} = n\) không là hằng số
c. Đúng vì \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = 5\) là hằng số
d. Sai vì \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = n\) không là hằng số.
Câu 49. Cho dãy hình vuông H1, H2, …, Hn,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi un, pn và Sn lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông Hn.
a. Giả sử dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (pn) và (Sn) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?
b. Giả sử dãy số (un) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (pn) và (Sn) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?
Theo giả thiết ta có :
\({p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2\) với mọi \(n \in N^*\)
a. Gọi d là công sai của cấp số cộng (un) , d ≠ 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({p_{n + 1}} – {p_n} = 4\left( {{u_{n + 1}} – {u_n}} \right) = 4d\) (không đổi)
Vậy (pn) là cấp số cộng.
\({S_{n + 1}} – {S_n} = \left( {{u_{n + 1}} – {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) = d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)\) không là hằng số (do d ≠ 0)
Vậy (Sn) không là cấp số cộng.
b. Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), q > 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q\) (không đổi)
\({{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {q^2}\) (không đổi)
Từ đó suy ra các dãy số (pn) và (Sn) là cấp số nhân.
Câu 50. Cho dãy số (un) xác định bởi :
\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1
Chứng minh rằng (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
Ta chứng minh \({u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)\) với mọi n bằng qui nạp
+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {\rm{ }}3\), (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là: \({u_k} = {\rm{ }}3\)
+) Ta chứng minh \({u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3\)
Thật vậy ta có \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\)
Vậy \({u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1\) do đó (un) vừa là cấp số cộng công sai \(d = 0\) vừa là cấp số nhân công bội \(q = 1\).
Câu 51. Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết :
– Ở Cơ sở A : Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.
– Ở Cơ sở B : Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un và vn tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.
a. Hãy tính u2, u3, v2, v3.
b. Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng và dãy số (vn) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.
c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau ?
d. Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.
a.
\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 500 = 8000 + 500 = 8500 \cr
& {u_3} = {u_2} + 500 = 8500 + 500 = 9000 \cr
& {v_2} = {v_1} + {v_1}.0,07 = {v_1}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_1}.1,07 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6000.1,07 = 6420 \cr
& {v_3} = {v_2} + {v_2}.0,07 = {v_2}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_2}.1,07 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6420.1,07 = 6869,4 \cr} \)
b. Theo giả thiết của bài toán, ta có :
\({u_1} = 8000\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 500\) với mọi \(n ≥ 1\) (1)
\(\eqalign{
& {v_1} = 6000\,\text{ và }\,{v_{n + 1}} = {v_n} + {v_n}.0,07 \cr
& = {v_n}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_n}.1,07 \text{ với mọi } n ≥ 1 \;(2)\cr}\)
Từ (1) suy ra (un) là một cấp số cộng với công sai \(d = 500\) và số hạng đầu u1 = 8000.
Số hạng tổng quát : \(u_n= 8000 + (n – 1).500 = 7500 + 500n\)
Từ (2) suy ra (vn) là một cấp số nhân với công bội \(q = 1,07\) và số hạng đầu v1 = 6000.
Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}6000{\rm{ }}.{\rm{ }}{\left( {1,07} \right)^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)
c. Kí hiệu A20 và B20 tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B. Từ kết quả phần b, ta có :
A20 là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng un. Do đó :
\({A_{20}} = {{20.\left( {2{u_1} + 19d} \right)} \over 2} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} \right) = 255000\)
B20 là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (vn). Do đó :
\({B_{20}} = v_1{{1 – {q^{20}}} \over {1 – q}} = 6000.{{1 – {{\left( {1,07} \right)}^{20}}} \over {1 – 1,07}} = 245972,9539\)
Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thuê cơ sở B.
d. Kí hiệu A25 và B25 tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.
\({A_{25}} = {{25.\left( {2{u_1} + 24d} \right)} \over 2} = 12,5.\left( {2.8000 + 24.500} \right) = 350000\)
\({B_{25}} = v_1{{1 – {q^{25}}} \over {1 – q}} = 6000.{{1 – {{\left( {1,07} \right)}^{25}}} \over {1 – 1,07}} = 379494,2263\)
Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.
