Câu 17. Tìm hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) trong khai triển \({\left( {2x – 3y} \right)^{200}}\)
Ta có:
\({\left( {2x – 3y} \right)^{200}} = \sum\limits_{k = 0}^{200} {C_{200}^k{{\left( {2x} \right)}^{200 – k}}{{\left( { – 3y} \right)}^k}} \)
Số hạng chứa \({x^{101}}{y^{99}}\) ứng với \(k = 99\), đó là : \(C_{200}^{99}.{\left( {2x} \right)^{101}}{\left( { – 3y} \right)^{99}}\)
Vậy hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) là \(C_{200}^{99}.{\left( {2} \right)^{101}}{\left( { – 3} \right)^{99}}\)
Câu 18. Tính hệ số của \({x^5}{y^8}\) trong khai triển \({\left( {x + y} \right)^{13}}\)
Ta có:
\({\left( {x + y} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 – k}}{y^k}} \)
Số hạng chứa \({x^5}{y^8}\) ứng với \(k = 8\) đó là \(C_{13}^8{x^5}{y^8}.\)
Vậy hệ số của \({x^5}{y^8}\,\text{ là }\,C_{13}^8 = 1287\)
Câu 19. Tính hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\)
\({\left( {1 + x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{{.1}^{11 – k}}} \)
Hệ số \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\text{ là }\,C_{11}^7 = 330.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 20. Tính hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {2 – x} \right)^{19}}\)
Ta có:
\({\left( {2 – x} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 – k}}{{\left( { – x} \right)}^k}} \)
Hệ số của \({x^9}\) là\( – C_{19}^9{2^{10}} = – 94595072\) (ứng với\( k = 9\))
Câu 21. Khai triển \({\left( {3x + 1} \right)^{10}}\) cho tới x3.
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {3x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {3x} \right)}^k} = 1 + C_{10}^1\left( {3x} \right) + C_{10}^2{{\left( {3x} \right)}^2} + C_{10}^3{{\left( {3x} \right)}^3} + …} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 30x + 405{x^2} + 3240{x^3} + … \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 22. Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển của \({\left( {3 – 2x} \right)^{15}}\)
Ta có:
\({\left( {3 – 2x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 – k}}{{\left( { – 2x} \right)}^k}} \)
Hệ số của \(x^7\) à :\(C_{15}^7{.3^8}{\left( { – 2} \right)^7} = – C_{15}^7{.3^8}{.2^7}\) (ứng với \(k = 7\))
Câu 23. Tính hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển của \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}\)
Ta có:
\({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 – k}}{{\left( {xy} \right)}^k}} \)
Số hạng chứa \({x^{25}}{y^{10}}\) ứng với k = 10 đó là :
\(C_{15}^{10}{\left( {{x^3}} \right)^5}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}\)
Vậy hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\,la\,C_{15}^{10} = 3003\)
Câu 24. Biết rằng hệ số của \({x^{n – 2}}\) trong khai triển \({\left( {x – {1 \over 4}} \right)^n}\) bằng \(31\). Tìm \(n\).
Ta có:
\({\left( {x – {1 \over 4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n – k}}{{\left( { – {1 \over 4}} \right)}^k}} \)
Hệ số của \(x^{n-2}\) là \(C_n^2{\left( { – {1 \over 4}} \right)^2} = 31 \Rightarrow {{n\left( {n – 1} \right)} \over 2} = 16.31 \Rightarrow n = 32\)
