Câu 8: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không
a) (-4 ; 5)
\(\left\{ \matrix{
7x – 5y = – 53 \hfill \cr
– 2x + {\rm{9}}7 = 53 \hfill \cr} \right.\)
b) (3 ; -11)
\(\left\{ \matrix{
{0,2 + 1,7 = – 18,1} \cr
{3,2x – y = 20,6} \hfill \cr} \right.\)
c) (1,5 ; 2), (3 ; 7)
\(\left\{ \matrix{
{10x – 3y = 9} \cr
{ – 5x + 1,5y = – 4,5}\hfill \cr} \right.\)
d) (1 ; 8)
\(\left\{ \matrix{
{5x + 2y = 9} \cr
{x – 14y = 5}\hfill \cr} \right.\)
a) Thay x = -4 ; y = 5 vào từng phương trình của hệ:
7.(-4) – 5.5 = -28 – 25 = -53
-2. (-4) + 9.5 = 8 + 45 = 53
Vậy cặp (-4 ; 5) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{7x – 5y = – 53} \cr
{ – 2x + 9y = 53}\hfill \cr} \right.\)
b) Thay x = 3 ; y = -11 vào từng phương trình của hệ:
0,2.3 + 1,7 (-11) = 0,6 – 18,7 = -18,1
3,2.3 + 11 = 9,6 + 11 = 20,6
Vậy cặp (3 ; -11) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{0,2x + 1,7y = – 18,1} \cr
{3,2x – y = 20,6}\hfill \cr} \right.\)
c) Thay x = 1,5 ; y = 2 vào từng phương trình của hệ:
10.1,5 – 3.2 = 15 – 6 = 9
-5.1,5 + 1,5.2 = -7,5 + 3 = -4,5
Vậy cặp (1,5 ; 2) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{10x – 3y = 9} \cr
{ – 5x + 1,5y = – 4,5}\hfill \cr} \right.\)
Thay x = 3 ; y = 7 vào từng phương trình của hệ:
10.3 – 3.7 = 30 – 21 = 9
-5.3 +1,5.7 = -15 + 10,5 = -4,5
Vậy cặp (3 ; 7) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{10x – 3y = 9} \cr
{ – 5x + 1,5y = – 4,5}\hfill \cr} \right.\)
d) Thay x = 1 ; y = 8 vào từng phương trình của hệ:
5.1 + 2.8 = 5 + 16 = 21
Vậy cặp (1 ; 8) không phải là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{5x + 2y = 9} \cr
{x – 14y = 5}\hfill \cr} \right.\)
Câu 9: Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình (nếu có thể ) rồi đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao (không vẽ đồ thị)
\(a)\left\{ \matrix{
4x – {\rm{9y}} = 3 \hfill \cr
– 5x – 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\(b)\left\{ \matrix{
{2,3x + 0,8y = 5} \cr
{2y = 6}\hfill \cr} \right.\)
\(c)\left\{ \matrix{
{3x = – 5} \cr
{x + 5y = – 4}\hfill \cr} \right.\)
\(d)\left\{ \matrix{
{3x – y = 1} \cr
{6x – 2y = 5} \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(a)\left\{ \matrix{
4x – {\rm{9}}y = 3 \hfill \cr
– 5x – 3y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = {4 \over {\rm{9}}}y – {1 \over 3} \hfill \cr
y = – {5 \over 3}x – {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Hai đường thẳng có hệ số góc \({4 \over 9} \ne – {5 \over 3}\) nên chúng cắt nhau
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
\(b)\left\{ \matrix{
2,3x + 0,{\rm{8}}y = 5 \hfill \cr
2y = {\rm{6}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = – {{23} \over {\rm{8}}}x + {{25} \over 4} \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right.\)
Đường thẳng \(y = – {{23} \over 8}x + {{25} \over 4}\) cắt hai trục tọa độ
Đường thẳng y = 3 song song với trục hoành nên 2 đường thẳng trên cắt nhau
Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất
\(c)\left\{ \matrix{
3x = – 5 \hfill \cr
x + 5y = – 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – {5 \over 3} \hfill \cr
y = – {1 \over 5}x – {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\)
Đường thẳng \(x = – {5 \over 3}\) song song với trục tung
Đường thẳng \(y = – {1 \over 5}x – {4 \over 5}\) cắt hai trục tọa độ nên 2 đường thẳng đó cắt nhau
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\(d)\left\{ \matrix{
3x – y = 1 \hfill \cr
{\rm{6}}x – 2y = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x – 1 \hfill \cr
y = 3x – {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau bằng 3 có tung độ gốc khác nhau: \( – 1 \ne – {5 \over 2}\) nên chúng song song. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 10: Cho phương trình 3x – 2y = 5
a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất
b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ vô nghiệm
c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ có vô số nghiệm
Cho phương trình \(3x – 2y = 5 \Leftrightarrow y = {3 \over 2}x – {5 \over 2}\)
a) Thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ta thêm đường thẳng có hệ số góc khác \({3 \over 2}\). Chẳng hạn ta thêm đường thẳng \(y = {2 \over 3}x + {1 \over 3} \Leftrightarrow 2x – 3y = – 1\)
Ta có hệ
\(\left\{ {\matrix{
{3x – 2y = 5} \cr
{2x – 3y = – 1} \cr} } \right.\)
Hệ có 1 nghiệm duy nhất.
b) Thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được môt hệ vô số nghiệm. Ta thêm đường thẳng có hệ số góc bằng \({3 \over 2}\) và tung độ góc khác \( – {5 \over 2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Chẳng hạn ta thêm đường thẳng \(y = {3 \over 2}x – {1 \over 2} \Leftrightarrow 3x – 2y = 1\)
Ta có hệ:
\(\left\{ {\matrix{
{3x – 2y = 5} \cr
{3x – 2y = 1} \cr} } \right.\) Hệ vô nghiệm
c) Thêm một phương trình bậc nhất 2 ẩn để được một hệ có vô số nghiệm ta thêm đường thẳng có hệ số góc bằng \({3 \over 2}\) và tung độ góc bằng \( – {5 \over 2}\)
Chẳng hạn ta thêm đường thẳng
\(y = {3 \over 2}x – {5 \over 2}\) \( \Leftrightarrow \) \(6x – 4y = 10\)
Ta có hệ:
\(\left\{ {\matrix{
{3x – 2y = 5} \cr
{6x – 4y = 10} \cr} } \right.\) Hệ vô số nghiệm.
Câu 11: Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối liên hệ giữa các hằng số a, b, c và các hằng số a’, b’. c’ để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} } \right.\)
a) Có nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
c) Có vô số nghiệm
Áp dụng:
a) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất
b) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm
c) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm
Ta chia ra các trường hợp:
a) Trường hợp a, b, a’, b’ đều khác 0
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – {a \over b}x + {c \over b}} \cr
{y = – {{a’} \over {b’}}x + {{c’} \over {b’}}} \cr} } \right.} \right.\)
1. Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng đó cắt nhau tức là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau. \({a \over b} \ne {{a;} \over {b’}} \Rightarrow {a \over {a’}} \ne {b \over {b’}}\)
2. Hệ phương trình đó vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó song song. Tức là hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ góc khác nhau
\(\left\{ {\matrix{
{{a \over b} = {{a’} \over {b’}}} \cr
{{c \over b} \ne {{c’} \over {b’}}} \cr} \Leftrightarrow {a \over {a’}} = {b \over {b;}} = {c \over {c’}}} \right.\)
(nếu c’ ≠ 0) hoặc \({a \over {a’}} = {b \over {b’}} \ne {c \over {c’}}\) (nếu c ≠ 0)
3. Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó trùng nhau tức là hai đường thẳng có cùng hệ số góc và tung độ góc
\(\left\{ {\matrix{
{{a \over b} = {{a’} \over {b’}}} \cr
{{c \over b} = {{c’} \over {b’}}} \cr} \Leftrightarrow {a \over {a’}} = {b \over {b’}} = {c \over {c’}}} \right.\)
hay \({a \over {a’}} = {b \over {b’}} = {c \over {c’}}\)
b) Trường hợp a = 0 và a’ ≠ 0
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {c \over b}} \cr
{y = – {{a’} \over b}x + {{c’} \over {b’}}} \cr} } \right.} \right.\)
(với b’ ≠ 0)
Hoặc
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {c \over b}} \cr
{x = {{c’} \over {a’}}} \cr} } \right.} \right.\)
(với b’ ≠ 0)
Vì đường thẳng \(y = {c \over b}\) song song hoặc trùng với trục Ox, còn đường thẳng: \(y = – {{a’} \over {b’}}x + {{c’} \over {b’}}\); đường thẳng \(x = {{c’} \over {a’}}\) luôn luôn cắt trục hoành nên hai đường thẳng đó luôn luôn cắt nhau. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Trường hợp a = a’ = 0
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {c \over b}} \cr
{y = {{c’} \over {b’}}} \cr} } \right.} \right.\)
Hệ vô số nghiệm khi \({c \over b} \ne {{c’} \over {b’}}\)
Hệ có vô số nghiệm khi \({c \over b} = {{c’} \over {b’}}\)
d) Trường hợp b = 0 ; b’≠ 0
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {c \over a}} \cr
{y = – {{a’} \over {b’}}x + {{c’} \over {b’}}} \cr} } \right.} \right.\)
(với a’ ≠ 0)
Hoặc
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {c \over a}} \cr
{y = {{c’} \over {b’}}} \cr} } \right.} \right.\)
(với a’ = 0)
Vì đường thẳng \(x = {c \over a}\) song song hoặc trùng trục tung Oy
Đường thẳng \(y = – {{a’} \over {b’}}x + {{c’} \over {b’}}\); đường thẳng \(y = {{c’} \over {b’}}\) luôn cắt trục Oy nên hai đường thẳng đó luôn luôn cắt nhau. Hệ có một nghiệm duy nhất
e) Trường hợp b = b’ = 0
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a’x + b’y = c’} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {c \over a}} \cr
{x = {{c’} \over {a’}}} \cr} } \right.} \right.\)
Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng đó song song: \({c \over a} \ne {{c’} \over {a’}}\)
Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó trùng nhau: \({c \over a} = {{c’} \over {a’}}\)
Áp dụng:
a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{3x – y = 3} \cr} } \right.\)
b) Hệ phương trình vô nghiệm:
\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{4x + 6y = 5} \cr} } \right.\)
c) Hệ phương trình có vô số nghiệm:
\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{4x + 6y = 2} \cr} } \right.\)
