Câu 4.1: Giải các hệ phương trình
\(a)\left\{ {\matrix{
{{3 \over x} + {5 \over y} = – {3 \over 2}} \cr
{{5 \over x} – {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{2 \over {x + y – 1}} – {4 \over {x – y + 1}} = – {{14} \over 5}} \cr
{{3 \over {x + y – 1}} + {2 \over {x – y + 1}} = – {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)
\(a)\left\{ {\matrix{
{{3 \over x} + {5 \over y} = – {3 \over 2}} \cr
{{5 \over x} – {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)
Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b.\) Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = – {3 \over 2}} \cr
{5a – 2b = {8 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a + 10b = – 3} \cr
{15a – 6b = 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30a + 50b = – 15} \cr
{30a – 12b = 16} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{62b = – 31} \cr
{6a + 10b = – 3} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – {1 \over 2}} \cr
{6a + 10.\left( { – {1 \over 2}} \right) = – 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – {1 \over 2}} \cr
{6a = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – {1 \over 2}} \cr
{a = {1 \over 3}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr
{{1 \over y} = – {1 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{y = – 2} \cr} } \right.\)
Hai giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (3; -2)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{2 \over {x + y – 1}} – {4 \over {x – y + 1}} = – {{14} \over 5}} \cr
{{3 \over {x + y – 1}} + {2 \over {x – y + 1}} = – {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)
Đặt \({1 \over {x + y – 1}} = a;{1 \over {x – y + 1}} = b.\) Điều kiện: \(x + y – 1 \ne 0;x – y + 1 \ne 0\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2a – 4b = – {{14} \over 5}} \cr
{3a + 2b = – {{13} \over 5}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2a – 4b = – {{14} \over 5}} \cr
{6a + 4b = – {{26} \over 5}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8a = – 8} \cr
{3a + 2b = – {{13} \over 5}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = – 1} \cr
{ – 3 + 2b = – {{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = – 1} \cr
{b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y – 1}} = – 1} \cr
{{1 \over {x – y + 1}} = {1 \over 5}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y – 1 = – 1} \cr
{x – y + 1 = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 0} \cr
{x – y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 4} \cr
{x – y = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{2 – y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = – 2} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (2; -2)
Câu 4.2: Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau
Advertisements (Quảng cáo)
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-3; 1) và N(1; 2)
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2 – 1} \right)\)
c) Đồ thị đi qua điểm M(-2; 9) và cắt đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ≠ 0)
a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-3; 1) và N(1; 2) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: 1 = -3a + b
Điểm N: 2 = a + b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ – 3a + b = 1} \cr
{a + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4a = 1} \cr
{a + b = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 4}} \cr
{{1 \over 4} + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 4}} \cr
{b = {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \)
Hàm số cần tìm: $y = {1 \over 4}x + {7 \over 4}\)
b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2 – 1} \right)\) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Advertisements (Quảng cáo)
Điểm M: \(1 = a\sqrt 2 + b\)
Điểm N: \(3\sqrt 2 – 1 = 3a + b\)
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
{3a + b = 3\sqrt 2 – 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 – \sqrt 2 } \right)a = 3\sqrt 2 – 2} \cr
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 – \sqrt 2 } \right)a = \sqrt 2 \left( {3 – \sqrt 2 } \right)} \cr
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{2 + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{b = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Hàm số cần tìm: \(y = \sqrt 2 x – 1\)
c) Điểm N nằm trên đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 có hoành độ bằng 2 nên tung độ của N bằng: \(3.2 – 5y = 1 \Leftrightarrow – 5y = – 5 \Leftrightarrow y = 1\)
Điểm N( 2; 1)
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-2; 9) và N(2; 1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: 9 = -2a + b
Điểm N: 1 =2a + b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ – 2a + b = 9} \cr
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2b = 10} \cr
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{2a + 5 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{2a = – 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{a = – 2} \cr} } \right. \cr} \)
Hàm số cần tìm là y = – 2x + 5
Câu 4.3: Giải hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr
{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr
{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\)
Điều kiện: \(x \ne – y;y \ne – z;z \ne – x\)
Từ hệ phương trình đã cho suy ra: $x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\)
\(\left\{ {\matrix{
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr
{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr
{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr
{{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr
{{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr
{{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr
{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)
Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{a + b = {3 \over 2}} \cr
{b + c = {5 \over 6}} \cr
{c + a = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)
Cộng từng vế ba phương trình ta có:
\(\eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr
& \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr
& a = \left( {a + b + c} \right) – \left( {b + c} \right) = {{11} \over 6} – {5 \over 6} = 1 \cr
& b = \left( {a + b + c} \right) – \left( {c + a} \right) = {{11} \over 6} – {4 \over 3} = {{11} \over 6} – {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr
& c = \left( {a + b + c} \right) – \left( {a + b} \right) = {{11} \over 6} – {3 \over 2} = {{11} \over 6} – {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 1} \cr
{{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr
{z = 3} \cr} } \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3).
