Câu 42. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.
a. \(f\left( x \right) = {x^4} – \cos 2x,{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)\)
b. \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x,{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)\)
c. \(f\left( x \right) = {\left( {x + 10} \right)^6},{f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\)
a. Ta có:
\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = 4{x^3} + 2\sin 2x\\
f”\left( x \right) = 12{x^2} + 4\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}} = 24x – 8\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 24 – 16\cos 2x
\end{array}\)
b.
\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = 2\cos x\left( { – \sin x} \right) = – \sin 2x\\
f”\left( x \right) = – 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}} = 8\cos 2x\\
{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = – 16\sin 2x
\end{array}\)
c.
\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = 6{\left( {x + 10} \right)^5}\\
f”\left( x \right) = 30{\left( {x + 10} \right)^4}\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = 120{\left( {x + 10} \right)^3}\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 360{\left( {x + 10} \right)^2}\\
{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = 720\left( {x + 10} \right)\\
{f^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = 720\\
{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 0,\forall n \ge 7
\end{array}\)
Câu 43. Chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\), ta có :
a. Nếu \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)
b. Nếu \(f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.\)
c. Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)
a. Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left( {\forall x \ge 1} \right)\,\,\left( 1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
+ Với \(n = 1\), ta có : \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = f’\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2}}}\,\text{ và }\,\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}\)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\),
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Thật vậy, ta có :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( k \right)}}\left( x \right)} \right]’ = – \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^k}k!.\left( {k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2\left( {k + 1} \right)}}}} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
b. Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
Ta có: \(f’\left( x \right) = – \sin x;f”\left( x \right) = – \cos x;\)
\(f”’\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
+ Với n = 1 thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x,\)
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
Advertisements (Quảng cáo)
\({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left( x \right) = \cos x\,\left( {hay\,{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x} \right)\)
Thật vậy, vì :
\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x\,\text{ nên }\,{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = – \sin x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = – \cos x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = \sin x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x
\end{array}\)
c. Ta có:
\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\
f”\left( x \right) = – {a^2}\sin ax\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = – {a^3}\cos ax\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)
Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
Với \(n = k + 1\) ta có \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {\left( {{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left( 4 \right)}}\)
Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = – {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = – {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.
Câu 44. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t2, trong đó t > 0, t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm
a. Tại thời điểm t = 4
b. Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.
Ta có: a(t) = v’(t) = 8 + 6t
a. Khi t = 4s thì a(4) = 32 m/s2
b. Khi v(t) = 11 m/s thì ta được :
\(8t + 3{t^2} = 11 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {t = 1} \cr {t = – {{11} \over 3}\,\,\left( \text{loại} \right)} \cr } } \right.\)
Với t = 1s thì a(1) = 14 m/s2
Câu 45. Tìm vi phân của mỗi hàm số sau :
Advertisements (Quảng cáo)
a. \(y = {\tan ^2}3x – \cot 3{x^2}\)
b. \(y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} \)
a.
\(\eqalign{ & y’ = 2\tan 3x.3\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + 6x\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right) \cr & \Rightarrow dy = y’dx = \left[ {6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + 6x\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)} \right]dx \cr} \)
b.
\(\eqalign{ & y’ = {{2\cos 2x.\left( { – 2\sin 2x} \right)} \over {2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} = {{ – \sin 4x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} \cr & \Rightarrow dy = y’dx = – {{\sin4 x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}dx \cr} \)
Câu 46. Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :
a. \({1 \over {\sqrt {20,3} }}\).
Hướng dẫn : Xét hàm số \(y = {1 \over {\sqrt x }}\) tại điểm \({x_0} = 20,25 = 4,{5^2}\,\text{ với }\,\Delta x = 0,05\)
b. tan29˚30’.
Hướng dẫn : Xét hàm số y = tanx tại điểm \({x_0} = {\pi \over 6}\,\text{ với }\,\Delta x = – {\pi \over {360}}\)
a. Vì \({1 \over {\sqrt {20,3} }} = {1 \over {\sqrt {20,25 + 0,05} }}\) nên ta xét hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x }}\,\text{ tại }\,{x_0} = 20,25\)
Với \(\Delta x = 0,05.\) Ta có :
\(\eqalign{ & f\left( {{x_0}} \right) = {1 \over {\sqrt {20,25} }} = {1 \over {4,5}} \cr & f’\left( {{x_0}} \right) = – {1 \over {2.20,25.\sqrt {20,25} }} = – {1 \over {182,25}} \cr} \)
Do đó :
\(\eqalign{ & {1 \over {\sqrt {20,3} }} = f\left( {20,3} \right) = f\left( {{x_0} + 0,05} \right) \cr & = f\left( {{x_0}} \right) + f’\left( {{x_0}} \right).0,05 = {1 \over {4,5}} – {{0,05} \over {182,25}} \approx 0,222 \cr} \)
b. Vì \(\tan 29^\circ 30′ = \tan \left( {{\pi \over 6} – {\pi \over {360}}} \right)\) nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại \({x_0} = {\pi \over 6}\)
Với \(\Delta x = – {\pi \over {360}}.\) Ta có:
\(\eqalign{ & f\left( {{x_0}} \right) = \tan {\pi \over 6} = {1 \over {\sqrt 3 }} \cr & f’\left( {{x_0}} \right) = 1 + {\tan ^2}{\pi \over 6} = {4 \over 3}. \cr} \)
Do đó :
\(\tan \left( {{\pi \over 6} – {\pi \over {360}}} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f’\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)
\(= {1 \over {\sqrt 3 }} + {4 \over 3}\left( { – {\pi \over {360}}} \right) \approx 0,566\)
Câu 47. a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.
b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = – {2^{4n – 1}}\cos 2x\)
a.
\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}x\\
f”\left( x \right) = 2\tan x .\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=2{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} + 4{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)
\end{array}\)
b. \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = – {2^{4n – 1}}\cos 2x\) (1)
Với n = 1 ta có:
\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = \sin 2x\\
f”\left( x \right) = 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = – 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = – 8\cos 2x
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = – {2^{4k – 1}}\cos 2x\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)’ = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = – {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = – {2^{4k + 3}}\cos 2x
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.
Câu 48. a. Nếu \(y = A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right),\) trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì \(y” + {\omega ^2}y = 0.\)
b. Nếu \(y = \sqrt {2x – {x^2}} \) thì \({y^3}y” + 1 = 0.\)
a.
\(\begin{array}{l}
y = A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\text{ nên }\\
y’ = A\omega \cos \left( {\omega t + \varphi } \right) – B\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
y” = – A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) – B{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
Suy\,ra\,:\\\,y” + {\omega ^2}y = – \left[ {A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)+B{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right]\\
+ {\omega ^2}\left[ {A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right] = 0
\end{array}\)
b. Ta có:
\(\begin{array}{l}
y’ = \frac{{2 – 2x}}{{2\sqrt {2x – {x^2}} }} = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\\
y” = \frac{{ – \sqrt {2x – {x^2}} – \left( {1 – x} \right).\frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}}}{{\left( {2x – {x^2}} \right)}}\\
= \frac{{ – 2x + {x^2} – 1 + 2x – {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^3}} }} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^3}} }}\\
Suy\,ra\,\\{y^3}.y” + 1 = \sqrt {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^3}} .\frac{{ – 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 = 0
\end{array}\)
