Câu 55. Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
a. \({u_n} = {{2{n^3} – n – 3} \over {5n – 1}}\)
b. \({u_n} = {{\sqrt {{n^4} – 2n + 3} } \over { – 2{n^2} + 3}}\)
c. \({u_n} = – 2{n^2} + 3n – 7\)
d. \({u_n} = \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} – 7} \)
a. Ta có:
\(\eqalign{
& \lim {{2{n^3} – n – 3} \over {5n – 1}} = \lim {{{n^3}\left( {2 – {1 \over {{n^2}}} – {3 \over {{n^3}}}} \right)} \over {{n^3}\left( {{5 \over {{n^2}}} – {1 \over {{n^3}}}} \right)}} \cr
& = \lim {{2 – {1 \over {{n^2}}} – {3 \over {{n^3}}}} \over {{5 \over {{n^2}}} – {1 \over {{n^3}}}}} = + \infty \cr
& \text{ vì }\,\lim \left( {2 – {1 \over {{n^2}}} – {3 \over {{n^3}}}} \right) = 2\,\text{ và }\,\lim \left( {{5 \over {{n^2}}} – {1 \over {{n^3}}}} \right) = 0;5n – 1 > 0 \cr} \)
b.
\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {{n^4} – 2n + 3} } \over { – 2{n^2} + 3}} = \lim {{{n^2}\sqrt {1 – {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over {{n^2}\left( { – 2 + {3 \over {{n^2}}}} \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt {1 – {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over { – 2 + {3 \over {{n^2}}}}} = – {1 \over 2} \cr} \)
c.
\(\eqalign{
& \lim \left( { – 2{n^2} + 3n – 7} \right) = \lim {n^2}\left( { – 2 + {3 \over n} – {7 \over {{n^2}}}} \right) = – \infty \cr
& \text{vì }\,\lim {n^2} = + \infty \,\text{ và }\,\lim \left( { – 2 + {3 \over n} – {7 \over {{n^2}}}} \right) = – 2 < 0 \cr} \)
d.
\(\eqalign{
& \lim \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} – 7} = \lim {n^3}.\root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} – {7 \over {{n^9}}}} = + \infty \cr
& \text{ vì }\,\lim {n^3} = + \infty \,\text{ và }\,\lim \root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} – {7 \over {{n^9}}}} = 1 > 0 \cr} \)
Câu 56. Tìm các giới hạn của các dãy số (un) với :
a. \({u_n} = \sqrt {3n – 1} – \sqrt {2n – 1} \)
b. \({u_n} = {{{4^n} – {5^n}} \over {{2^n} + {{3.5}^n}}}\)
a.
\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {3n – 1} – \sqrt {2n – 1} } \right) \cr
& = \lim {{3n – 1 – \left( {2n – 1} \right)} \over {\sqrt {3n – 1} + \sqrt {2n – 1} }}\cr & = \lim {n \over {\sqrt n \left( {\sqrt {3 – {1 \over n}} + \sqrt {2 – {1 \over n}} } \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt n } \over {\sqrt {3 – {1 \over n}} + \sqrt {2 – {1 \over n}} }} = + \infty \cr
& \text{ vì }\,\lim \sqrt n = + \infty \cr &\text{ và }\,\lim \left( {\sqrt {3 – {1 \over n}} + \sqrt {2 – {1 \over n}} } \right) = \sqrt 3 + \sqrt 2 > 0 \cr} \)
b. Chia cả tử và mẫu của un cho 5n ta được :
\(\lim {u_n} = \lim {{{{\left( {{4 \over 5}} \right)}^n} – 1} \over {{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} + 3}} = – {1 \over 3}\)
Vì \(\lim {\left( {{2 \over 5}} \right)^n} = 0; \lim {\left( {{4 \over 5}} \right)^n} = 0\)
Câu 57. Cho một cấp số nhân (un), trong đó
\(243{u_8} = 32{u_3}\,\text{ với }\,{u_3} \ne 0.\)
a. Tính công bội của cấp số nhân đã cho.
b. Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng \({3^5},\) tính u1.
a. Ta có: \({u_8} = {u_3}{q^5}\) với q là công bội của cấp số nhân.
Thay vào đẳng thức đã cho, ta được :
Advertisements (Quảng cáo)
\(243{u_3}{q^5} = 32{u_3}\)
Vì u3≠ 0 nên : \({q^5} = {{32} \over {243}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^5} \Leftrightarrow q = {2 \over 3}\)
b. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là \(S = {{{u_1}} \over {1 – q}}.\)
Từ đó, ta có :
\({3^5} = {{{u_1}} \over {1 – {2 \over 3}}},\text{ do đó }\,{u_1} = {3^4} = 81\)
Câu 58. Tìm giới hạn của dãy số (un) xác định bởi
\({u_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + … + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}.\)
Hướng dẫn : Với mỗi số nguyên dương k, ta có
\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} – {1 \over {k + 1}}\)
\({u_n} = \left( {1 – {1 \over 2}} \right) + \left( {{1 \over 2} – {1 \over 3}} \right) + … \)
\(+ \left( {{1 \over {n – 1}}}-{1 \over n} \right) + \left( {{1 \over n} – {1 \over {n + 1}}} \right) = 1 – {1 \over {n + 1}}\)
Do đó \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 – {1 \over {n + 1}}} \right) = 1\)
Câu 59. Tìm các giới hạn sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} – x + 2}}} \)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – x + 5} } \over {2x – 1}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 3} \right)}^ – }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}}\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 – x}}} \)
Advertisements (Quảng cáo)
e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} – 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\)
f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} – \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} – x + 2}}} = \root 3 \of {{{32 – 6 + 1} \over {4 + 2 + 2}}} = \root 3 \of {{{27} \over 8}} = {3 \over 2}\)
b.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – x + 5} } \over {2x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 – {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {x\left( {2 – {1 \over x}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – \sqrt {1 – {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {2 – {1 \over x}}} = – {1 \over 2} \cr} \)
c. Với mọi x < -3, ta có: \({{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} \over {x + 1}}.{1 \over {x + 3}}\)
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 3} \right)}^ – }} {{{x^4} + 1} \over {x + 1}} = {{82} \over { – 2}} = – 41 < 0\,\cr&\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 3} \right)}^ – }} {1 \over {x + 3}} = – \infty \cr & \text{ nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 3} \right)}^ – }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = + \infty \cr} \)
d.
\(\eqalign{
& \text{ Vì }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = + \infty \cr&\text{ và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{x + 4} \over {4 – x}}} = \sqrt {{6 \over 2}} = \sqrt 3 > 0 \cr
& \text{ nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 – x}}} = + \infty \cr} \)
e. Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2,\) ta được :
\(\eqalign{
& {{\sqrt {8 + 2x} – 2} \over {\sqrt {x + 2} }} = {{8 + 2x – 4} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr
& = {{2\left( {x + 2} \right)} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} = {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x} + 2}} \cr
& \forall x > – 2 \cr} \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} – 2} \over {\sqrt {x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 \over 4} = 0\)
f.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} – \sqrt {4 + {x^2}} } \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^2} + x – 4 – {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x – 4} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + \left| x \right|\sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} }} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x\left( {1 – {4 \over x}} \right)} \over { – x\left( {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} } \right)}} \cr
& = – \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 – {4 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} }} = – {1 \over 2} \cr} \)
Câu 60. Hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne – 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = – 2} \cr} } \right.\)
Có liên tục trên \(\mathbb R\) không ?
Hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x ≠ -2\).
Với \(x ≠ -2\), ta có:
\(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{{x^2} – 2x + 4} \over 4}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{{x^2} – 2x + 4} \over 4} = 3 = f\left( { – 2} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại \(x = -2\), do đó f liên tục trên \(\mathbb R\).
Câu 61. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} – 3x + 2} \over {{x^2} – 2x}}\,\text{ với }\,x < 2} \cr {mx + m + 1\,\text{ với }\,x \ge 2} \cr} } \right.\)
Liên tục tại điểm \(x = 2\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1 = f\left( 2 \right) \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{{x^2} – 3x + 2} \over {{x^2} – 2x}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \over {x\left( {x – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{x – 1} \over x} = {1 \over 2} \cr} \)
f liên tục tại mọi \(x ≠ 2\). Do đó :
f liên tục trên \(\mathbb R ⇔\) f liên tục tại \(x = 2\)
\(⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \)
\(\Leftrightarrow 3m + 1 = {1 \over 2} \Leftrightarrow m = – {1 \over 6}\)
Câu 62. Chứng minh rằng phương trình
\({x^4} – 3{x^2} + 5x – 6 = 0\)
Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1 ; 2).
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 3{x^2} + 5x – 6\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right].\) Ta có: \(f(1) = -3 < 0\) và \(f(2) = 8 > 0\)
Từ đó \(f(1).f(2) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (1 ; 2)\) sao cho \(f(c) = 0\). Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.
