Câu 21. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{{x^2} – 3x – 4} \over {x + 1}}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt {5 – x} }}\)
a. Với \(x ≠ -1\) ta có \(f\left( x \right) = {{{x^2} – 3x – 4} \over {x + 1}} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 4} \right)} \over {x + 1}} = x – 4\)
Với mọi dãy số (xn) trong khoảng \(\mathbb R\backslash \left\{ { – 1} \right\}\) (tức \(x_n≠ -1, ∀n\)) mà \(\lim\, x_n = -1\) ta có :
\(\lim f\left( x_n \right) = \lim \left( {{x_n} – 4} \right) = – 1 – 4 = – 5\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{{x^2} – 3x – 4} \over {x + 1}} = – 5\)
b. Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5 – x} }}\) là \(D = (-∞ ; 5)\)
Với mọi dãy (xn) trong khoảng \(\left( { – \infty {\rm{ }};{\rm{ }}5} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) sao cho \(\lim\, x_n = 1\), ta có :
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim {1 \over {\sqrt {5 – {x_n}} }} = {1 \over 2}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt {5 – x} }} = {1 \over 2}\)
Câu 22. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos {1 \over x}\) và hai dãy số \(\left( {x{‘_n}} \right),\left( {x{“_n}} \right)\) với
\(x_n’ = {1 \over {2n\pi }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x”_n= {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}}\)
a. Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {x_n’} \right),\left( {x_n”} \right),\left( {f\left( {x_n’} \right)} \right)\,va\,\left( {f\left( {x_n”} \right)} \right)\)
b. Tồn tại hay không \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}?\)
a. Ta có:
\(\eqalign{
& \lim x_n’ = \lim {1 \over {2n\pi }} = 0 \cr
& \lim x”_n = \lim {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}} = 0 \cr
& \lim f\left( {x{‘_n}} \right) = \lim \cos 2n\pi = 1 \cr
& \lim f\left( {x{“_n}} \right) = \lim \cos \left( {2n + 1} \right){\pi \over 2} = 0 \cr} \)
b. Vì \(\lim f\left( {x{‘_n}} \right) \ne \lim f\left( {x”{_n}} \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 23. Tìm các giới hạn sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right)\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x – {x^3}} \over {\left( {2x – 1} \right)\left( {{x^4} – 3} \right)}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 – {1 \over x}} \right)\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x – 3} \over {9x – {x^2}}}\)
e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} – 4} \right|\)
f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x – 1} \over {2{x^2} – 1}}} \)
a. \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 7x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 11 \cr & = {3.2^2} + 7.2 + 11 = 37 \cr} \)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x – {x^3}} \over {\left( {2x – 1} \right)\left( {{x^4} – 3} \right)}} = {0 \over { – 2}} = 0\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 – {1 \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x – 1} \right) = – 1\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x – 3} \over {9x – {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x – 3} \over { – x\left( {x – 9} \right)}} = – \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {1 \over {x\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = – {1 \over {54}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} – 4} \right| = 1\)
f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x – 1} \over {2{x^2} – 1}}} = \sqrt {{{{2^4} + 3.2 – 1} \over {{{22}^2} – 1}}} = \sqrt 3 \)
Câu 24. Tìm các giới hạn sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{3{x^2} – x + 7} \over {2{x^3} – 1}}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} – 15} \over {{x^4} + 1}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} – 1}}\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} – 1}}\)
a.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{3{x^2} – x + 7} \over {2{x^3} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^3}\left( {{3 \over x} – {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \right)} \over {{x^3}\left( {2 – {1 \over {{x^3}}}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{3 \over x} – {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \over {2 – {1 \over {{x^3}}}}} = {0 \over 2} = 0 \cr} \)
b.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} – 15} \over {{x^4} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^4}\left( {2 + {7 \over x} – {{15} \over {{x^4}}}} \right)} \over {{x^4}\left( {1 + {1 \over {{x^4}}}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{2 + {7 \over x} – {{15} \over {{x^4}}}} \over {1 + {1 \over {{x^4}}}}} = 2 \cr} \)
c.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {{x^3}\left( {3 – {1 \over {{x^3}}}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 – {1 \over {{x^3}}}}} = {1 \over 3} \cr} \)
d. Với mọi \(x < 0\), ta có:
\({{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} – 1}} = {{\left| x^3 \right|\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} – 1}} = {{ – {x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} – 1}} = {{ – \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 – {1 \over {{x^3}}}}}\)
Do đó :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 – {1 \over {{x^3}}}}} = – {1 \over 3}\)
Câu 25. Tìm các giới hạn sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} – x + 3}}} \)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} – x + 2}}\)
a. Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} – x + 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \root 3 \of {{{1 + {2 \over x}} \over {8 – {1 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}}} = {1 \over 2}\)
b.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} – x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2}\left( {1 – {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x \left( {1 – {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right)}} = 0 \cr
& \text{vì}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x }} = 0\;\text{và}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {1 – {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr} \)
