Câu 16: Tính giới hạn của các dãy số sau :
a. \(\lim {{{n^4} – 40{n^3} + 15n – 7} \over {{n^4} + n + 100}}\)
b. \(\lim {{2{n^3} + 35{n^2} – 10n + 3} \over {5{n^5} – {n^3} + 2n}}\)
c. \(\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}}\)
d. \(\lim {{{{3.2}^n} – {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}}\)
a. \(\lim {{{n^4} – 40{n^3} + 15n – 7} \over {{n^4} + n + 100}} = \lim {{1 – {{40} \over n} + {{15} \over {{n^3}}} – {7 \over {{n^4}}}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}} + {{100} \over {{n^4}}}}} = 1\)
b. \(\lim {{2{n^3} + 35{n^2} – 10n + 3} \over {5{n^5} – {n^3} + 2n}} = \lim {{{2 \over {{n^2}}} + {{35} \over {{n^3}}} – {{10} \over {{n^4}}} + {3 \over {{n^5}}}} \over {5 – {1 \over {{n^2}}} + {2 \over {{n^4}}}}} = 0\)
c. \(\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}} = \lim {{{n^2}\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {n\left( {2 + {1 \over n}} \right)}} = \lim {{n.\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {2 + {1 \over n}}} \)
\(= + \infty \)
d. \(\lim {{{{3.2}^n} – {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}} = \lim {{3.{{\left( {{2 \over 7}} \right)}^n} – 8} \over {4{{\left( {{3 \over 7}} \right)}^n} + 5}} = – {8 \over 5}\)
Câu 17: Tính các giới hạn sau :
a. \(\lim \sqrt {3{n^4} – 10n + 12} \)
b. \(\lim \left( {{{2.3}^n} – {{5.4}^n}} \right)\)
c. \(\lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} – {n^2}} \right)\)
d. \(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + 2n} – n}}\)
a. \(\lim \sqrt {3{n^4} – 10n + 12} = \lim {n^2}.\sqrt {3 – {{10} \over {{n^3}}} + {{12} \over {{n^4}}}} \)
\(= + \infty \)
b. \(\lim \left( {{{2.3}^n} – {{5.4}^n}} \right) = \lim {4^n}\left[ {2{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} – 5} \right] = – \infty \)
Advertisements (Quảng cáo)
c.
\(\eqalign{ & \lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} – {n^2}} \right) \cr&= \lim {{{n^2} + 1} \over {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} + {n^2}}} \cr & = \lim {{1 + {1 \over {{n^2}}}} \over {\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^4}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)
d. \(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + 2n }- n }} = \lim {{\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \over {2n}} = \lim {{\sqrt {1 + {2 \over n} }+ 1 } \over 2} = 1\)
Câu 18: Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là \({{12} \over 5}\) và tổng của cấp số nhân này là 15.
Gọi u1, q là số hạng đầu và cộng bội của cấp số nhân (|q| < 1). Theo đề bài ta có :
\(\left\{ {\matrix{ {{u_1}q = {{12} \over 5}} \cr {{{{u_1}} \over {1 – q}} = 15} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{u_1} = 12} \cr {q = {1 \over 5}} \cr } } \right.\,\text{hoặc} \;\left\{ {\matrix{ {{u_1} = 3} \cr {q = {4 \over 5}} \cr } } \right.\)
Câu 19: Tính giới hạn của các hàm số sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 – {x^2}}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x – 2} \over {{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}}\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2} + x – 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2x + 1}}\)
f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{{x + 1} \over {2{x^3} + x}}} \)
g. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x – 100} \)
h. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 1} – x\sqrt 5 } \right)\)
i. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} – x}}\)
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}} = {{1 + \left( { – 1} \right) + 10} \over { – 1 + 6}} = 2\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 – {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 5} {{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \over {\left( {5 – x} \right)\left( {5 + x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 5} {{x + 6} \over {5 – x}} = {1 \over {10}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x – 2} \over {{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 + {4 \over {{x^4}}} + {1 \over {{x^5}}} – {2 \over {{x^6}}}} \over {{{\left( {1 + {2 \over {{x^3}}}} \right)}^2}}} = 1\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2} + x – 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{1 \over {{x^3}}} + {1 \over {{x^4}}} – {{40} \over {{x^5}}}} \over {2 + {7 \over x} + {{21} \over {{x^5}}}}} = + \infty \)
e. Với mọi x < 0, ta có \({1 \over x}\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} = – \sqrt {2{x^2} + 4 + {3 \over {{x^2}}}} \)
Do đó :
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{{1 \over x}\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2 + {1 \over x}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – \sqrt {2{x^2} + 4 + {3 \over {{x^2}}}} } \over {2 + {1 \over x}}} = – \infty \cr} \)
f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{{x + 1} \over {2{x^3} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)} \over {2{x^3} + x}}} = \sqrt 2 \)
g. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x – 100} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {9 + {{11} \over x} – {{100} \over {{x^2}}}} = + \infty \)
h. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 1} – x\sqrt 5 } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {5{x^2} + 1} + x\sqrt 5 }} = 0\)
i.
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \over {x + 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \over {1 + {1 \over x}}} = 2 \cr} \)
Câu 20: Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm.
Đặt \(f(x)={x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = – \infty \) nên có số \(α < 0\) sao cho \(f(α) < 0\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên có số \(β > 0\) sao cho \(f(β) > 0\).
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên \(\mathbb R\) chứa đoạn \(\left[ {\alpha ;\beta } \right]\) nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số \(d \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\) sao cho \(f(d) = 0\). Đó chính là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\).
