Câu 11. Ta đã biết \(\cos {\pi \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\sqrt 2 .\) Chứng minh rằng :
a. \(\cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)
b. \(\cos {\pi \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {….. + \sqrt 2 } } } }_{n – 1\,\text{ dấu căn}}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.
a.
\(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \)
b. Với n = 2 ta có \(\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k tức là :
\(\cos {\pi \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + … + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn)
Với n = k + 1 ta có
\(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi \over {{2^k}}}} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + … + \sqrt 2 } } } \right) \cr & = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + … + \sqrt 2 } } } \right) \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + … + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\).
Câu 12. Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n – 1}} – 1\) với mọi n ≥ 2
Chứng minh rằng :
a. \({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 1
b. (un) là môt dãy số tăng.
Advertisements (Quảng cáo)
a. Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)
(1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\eqalign{ & {u_{k + 1}} = 4{u_k} – 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} – 1 = {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) – 3} \over 3} \cr & = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1
b. Ta có:
\(\eqalign{ & {u_{n + 1}} – {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} – {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} – 1} \right)} \over 3} \cr & = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)
⇒ (un) là dãy số tăng.
Câu 13. Cho dãy số (un) xác định bởi
Advertisements (Quảng cáo)
\({u_1} = 5\,\text{ và }\,{u_n} = {u_{n – 1}} – 2\) với mọi n ≥ 2
a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
b. Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (un).
a. Ta có: \({u_{n + 1}} – {u_n} = – 2;\forall n \ge 1\)
Suy ra: (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 5 và công sai d = -2 do đó :
\({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 5 + \left( {n – 1} \right)\left( { – 2} \right) = – 2n + 7\)
b. \({S_{100}} = {{100} \over 2}\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 50\left( {10 – 198} \right) = – 9400\)
Câu 14. Cho dãy số (un) xác định bởi :
\({u_1} = 2\,\text{ và }\,{u_n} = 3{u_{n – 1}}\) với mọi n ≥ 2
a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un);
b. Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số (un).
Ta có: \({{{u_n}} \over {{u_{n – 1}}}} = 3,\forall n \ge 2\)
(un) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3 ta được :
a. \({u_n} = {2.3^{n – 1}}\)
b. \({S_{10}} = {3^{10}} – 1\)
Câu 15. Các số x – y, x + y và 3x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x – 2, y + 2 và 2x + 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Hãy tìm x và y
Theo đề bài ra ta có hệ : \(\left\{ {\matrix{ {2\left( {x + y} \right) = \left( {x – y} \right) + \left( {3x – 3y} \right)} \cr {{{\left( {y + 2} \right)}^2} = \left( {x – 2} \right)\left( {2x + 3y} \right)} \cr } } \right.\)
Giải hệ ta được : \(\left\{ {\matrix{ {x = 3} \cr {y = 1} \cr } } \right.\,\text{hoặc}\;\left\{ {\matrix{ {x = – {6 \over {13}}} \cr {y = – {2 \over {13}}} \cr } } \right.\)
