Câu 1. Tìm số gia của hàm số \(y = {x^2} – 1\) tại điểm x0 = 1 ứng với số gia ∆x, biết
a. ∆x = 1
b. ∆x = -0,1.
Đặt \(f(x) = {x^2} – 1\)
a. Ta có: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)\)
\(= f\left( 2 \right) – f\left( 1 \right) = 3 – 0 = 3\)
b. \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)\)
\(= f\left( {0,9} \right) – f\left( 1 \right) = {\left( {0,9} \right)^2} – 1 = – 0,19\)
Câu 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0
a. \(y = 2x + 1,{x_0} = 2\)
b. \(y = {x^2} + 3x,{x_0} = 1\)
a. \(f(x) = 2x + 1\) , cho x0 = 2 một số gia Δx
Ta có:
\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) \cr & = f\left( {2 + \Delta x} \right) – f\left( 2 \right) \cr & = 2\left( {2 + \Delta x} \right) + 1 – 5 = 2\Delta x \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 2 \Rightarrow f’\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 2 \cr} \)
b. \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x;\) cho x0 = 1 một số gia Δx
Ta có:
\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) \cr & = f\left( {1 + \Delta x} \right) – f\left( 1 \right) \cr & = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + 3\left( {1 + \Delta x} \right) – 4 \cr & = 5\Delta x + {\Delta ^2}x \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 5 + \Delta x \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 5 \cr} \)
Vậy \(f'(1) = 5\)
Câu 3. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 (a là hằng số).
a. \(y = ax + 3\)
b. \(y = {1 \over 2}a{x^2}\)
a. \(f(x) = ax + 3\), cho x0 một số gia Δx, ta có:
\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) \cr & = a\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 3 – \left( {a{x_0} + 3} \right) = a\Delta x \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a \cr} \)
b.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {1 \over 2}a{x^2},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) \cr & = {1 \over 2}a{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} – {1 \over 2}ax_0^2 \cr & = {1 \over 2}a\Delta x\left( {2{x_0} + \Delta x} \right) \cr & \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {1 \over 2}a\left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = a{x_0} \cr} \)
Câu 4. Cho parabol y = x2 và hai điểm A(2 ; 4) và B(2 + ∆x ; 4 + ∆y) trên parabol đó.
a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.
b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.
a. Ta có: \(A\left( {2;4} \right);B\left( {2 + \Delta x,{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2}} \right)\)
Hệ số góc của cát tuyến AB là :
\(k = {{{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2} – 4} \over {2 + \Delta x – 2}} = {{4\Delta x + \Delta {x^2}} \over {\Delta x}} = 4 + \Delta x\)
Nếu Δx = 1 thì k = 5
Nếu Δx = 0,1 thì k = 4,1
Nếu Δx = 0,01 thì k = 4,01
b. Hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại A là :
\(k = y’\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} = {{f\left( {2 + \Delta x} \right) – f\left( 2 \right)} \over {\Delta x}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {4 + \Delta x} \right) = 4\)
Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3},\) biết
a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1
b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8
c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
a. Ta có:
\(\eqalign{ & {x_0} = – 1;{y_0} = {\left( { – 1} \right)^3} = – 1 \cr & f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^3} – x_0^3} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{3x_0^2\Delta x + 3{x_0}(\Delta x)^2 + {\Delta ^3}x} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3x_0^2 + 3{x_0}\Delta x + {\Delta ^2}x} \right) = 3x_0^2 \cr} \)
Với x0 = -1 ta có \(f’(-1) = 3{\left( { – 1} \right)^2} = 3\)
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là :
Advertisements (Quảng cáo)
\(y – \left( { – 1} \right) = 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 2\)
b. Với \({y_0} = 8 = x_0^3 \Rightarrow {x_0} = 2\)
\(f’\left( 2 \right) = {3.2^2} = 12\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
\(y – 8 = 12\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow y = 12x – 16\)
c. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có :
\(f’\left( {{x_0}} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)
Với x0 = 1 ta có y0 = 1 và phương trình tiếp tuyến là :
\(y – 1 = 3\left( {x – 1} \right)\,hay\,y = 3x – 2\)
Với x0 = -1 ta có y0 = -1 và phương trình tiếp tuyến là :
\(y -(- 1) = 3\left( {x + 1} \right)\,hay\,y = 3x + 2\)
Câu 6. Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(S = {1 \over 2}g{t^2},\) trong đó \(g = 9,8m/{s^2}\) và t được tính bằng giây (s).
a. Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và ∆t lần lượt bằng 0,1 ; 0,01 ; 0,001.
b. Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.
a. Vận tốc trung bình của chuyển động là :
\(\eqalign{ & {{\Delta s} \over {\Delta t}} = {{s\left( {t + \Delta t} \right) – s\left( t \right)} \over {\Delta t}} \cr & = {1 \over 2}g.{{{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} – {t^2}} \over {\Delta t}} \cr & = {1 \over 2}g\left( {2t + \Delta t} \right) \cr & = {1 \over 2}g.\left( {10 + \Delta t} \right) \cr} \)
Với \(\Delta t = 0,1\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,1 = 49,49\,m/s\)
Với \(\Delta t = 0,01\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,01 = 49,049\,m/s\)
Với \(\Delta t = 0,001\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,001 = 49,0049\,m/s\)
b. Vận tốc tại thời điểm \(t = 5:v = S’\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} {{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}g.10 = 49\,m/s\)
Câu 7. Tìm đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^5}\) trên \(\mathbb R\) rồi suy ra \(f’\left( { – 1} \right),f’\left( { – 2} \right)\,\text{ và }\,f’\left( 2 \right)\)
Với \(x_0\in\mathbb R\)
Ta có:
\(\eqalign{ & f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = {{{x^5} – x_0^5} \over {x – {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} + {x^3}{x_0} + {x^2}x_0^2 + xx_0^3 + x_0^4} \right) = 5x_0^4 \cr & f’\left( { – 1} \right) = 5;f’\left( { – 2} \right) = {5.(-2)^4} = 80,f’\left( 2 \right) = 80 \cr} \)
Câu 8. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.
a. \(y = a{x^2}\) (a là hằng số)
b. \(y = {x^3} + 2\)
a. Đặt \(f(x)=y = a{x^2}\)
Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{a{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^2} – ax_0^2} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} a\left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = 2a{x_0} \cr} \)
b. Đặt \(f(x)=y = {x^3} + 2\)
Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:
\(\eqalign{ & f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^3} + 2 – x_0^3 – 2} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^2} + \left( {{x_0} + \Delta x} \right){x_0} + x_0^2} \right] = 3x_0^2 \cr} \)
Câu 9. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :
a. \(y = {1 \over {2x – 1}}\,\text{ với }\,x \ne {1 \over 2}\)
b. \(y = \sqrt {3 – x} \) với \(x < 3\).
a. Đặt \(f(x)=y = {1 \over {2x – 1}}\)
Với \({x_0} \ne {1 \over 2}\) ta có:
\(\eqalign{ & f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} = {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{1 \over {2{x_0} + 2\Delta x – 1}} – {1 \over {2{x_0} – 1}}} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ – 2\Delta x} \over {\Delta x\left( {2{x_0} + 2\Delta x – 1} \right)\left( {2{x_0} – 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ – 2} \over {\left( {2{x_0} + 2\Delta x – 1} \right)\left( {2{x_0} – 1} \right)}} \cr & = {{ – 2} \over {{{\left( {2{x_0} – 1} \right)}^2}}} \cr} \)
b. Đặt \(f(x)=y = \sqrt {3 – x} \)
Với x0 < 3, ta có:
\(\eqalign{ & f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\sqrt {3 – {x_0} – \Delta x} – \sqrt {3 – {x_0}} } \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ – 1} \over {\sqrt {3 – {x_0} – \Delta x} + \sqrt {3 – {x_0}} }} = {{ – 1} \over {2\sqrt {3 – {x_0}} }} \cr} \)
Câu 10. a. Tính \(f’(3)\) và \(f’(-4)\) nếu \(f(x) = {x^3}\)
b. Tính \(f’(1)\) và \(f’(9)\) nếu \(f\left( x \right) = \sqrt x \)
a. Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:
\(\eqalign{ & f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {x – {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^3} – x_0^3} \over {x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x+ x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2 \cr} \)
Suy ra \(f’\left( 3 \right) = 27,f’\left( { – 4} \right) = 48\)
b. Với \(x_0> 0\) ta có :
\(\eqalign{ & f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)} \over {x – {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{\sqrt x – \sqrt {{x_0}} } \over {x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = {1 \over {2\sqrt {{x_0}} }} \cr} \)
Suy ra: \(f’\left( 1 \right) = {1 \over 2},f’\left( 9 \right) = {1 \over 6}\)
Câu 11. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại điểm x0 và đồ thị (G). Mệnh đề sau đây đúng hay sai ?
a. Nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì tiếp tuyến của (G) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành.
b. Nếu tiếp tuyến của G tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành thì \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) .
a. Mệnh đề sai vì tiếp tuyến có thể trùng với trục hoành.
Ví dụ : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\,\text{ với }\,{x_0} = 0\,\text{ thì }\,f’\left( 0 \right) = 0\) và tiếp tuyến tại điểm O(0 ; 0) trùng với trục hoành.
Mệnh đề sau đây mới đúng : “Nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) song song hoặc trùng với trục hoành”
b. Mệnh đề đúng : vì nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng 0, suy ra \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\)
Câu 12. Hình 5.4 là đồ thị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b). Biết rằng tại các điểm M1, M2 và M3, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận xét về dấu của \(f’\left( {{x_1}} \right),f’\left( {{x_2}} \right)\,va\,f’\left( {{x_3}} \right)\)
Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại các điểm M1, M2 và M3 nên hàm số y = f(x) có đạo hàm tại các điểm x1, x2 và x3. Ta nhận thấy :
+ Tiếp tuyến tại các điểm M1 là một đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số âm, suy ra \(f’\left( {{x_1}} \right) < 0\)
+ Tiếp tuyến tại điểm M2 là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0, suy ra \(f’\left( {{x_2}} \right) = 0\)
+ Tiếp tuyến tại điểm M3 là một đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số dương, suy ra \(f’\left( {{x_3}} \right) > 0\)
Câu 13. Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\), điều kiện cần và đủ là
\(\left\{ {\matrix{ {a = f’\left( {{x_0}} \right)} \cr {a{x_0} + b = f\left( {{x_0}} \right)} \cr } } \right.\)
Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) là tiếp tuyến của đồ thị (G) của hàm số f tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) khi và chỉ khi đồng thời xảy ra :
(d) và (G) cùng đi qua điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right),\) tức là \(a{x_0} + b = f\left( {{x_0}} \right)\)
Hệ số góc của (d) bằng đạo hàm của f tại x0, tức là \(a = f’\left( {{x_0}} \right)\)
Từ đó suy ra đpcm.
Câu 14. Cho hàm số \(y = \left| x \right|\)
a. Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0
b. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.
c. Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x0 thì có đạo hàm tại x0 ” đúng hay sai ?
a. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| = 0 = f\left( 0 \right)\)
Vậy f liên tục tại x = 0
b. Ta có:
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over x} = 1 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ – x} \over x} = – 1 \cr} \)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)} \over x}\) nên hàm số f không có đạo hàm tại x = 0
c. Mệnh đề sai. Thật vậy, hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) liên tục tại điểm 0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).
Câu 15. Hình 5.5 là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Dựa vào hình vẽ, hãy cho biết tại mỗi điểm x1, x2, x3 và x4 :
a. Hàm số có liên tục hay không ?
b. Hàm số có đạo hàm hay không ? Hãy tính đạo hàm nếu có.
Căn cứ vào hình ta nhận thấy :
+ Hàm số đã cho gián đoạn tại các điểm x1 và x3; vì đồ thị hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm M1 và M3.
+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm x2 và x4; vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi đi qua các điểm M2 và M4
+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x2; vì điểm M2 đồ thị là đường “gấp khúc” (và hiển nhiên tại đó không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số), giống như đồ thị hàm số \(y = |x|\).
+ Hàm số có đạo hàm tại điểm M4 và \(f’\left( {{x_4}} \right) = 0;\) vì tại điểm M4 đồ thị của hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.
