Đề kiểm tra 1 tiết Chương 4 Đại số lớp 9: Tính vận tốc của ca nô khi đi từ A đến B, biết vận tốc lúc đi hơn lúc về là 15 km/h và đoạn sông dài 30km.

Bài 1: Giải phương trình:

a) \(\left( {{x^2} – 1} \right)\sqrt {2x – 1}  = 0\)

b) \(25{x^4} + 21{x^2} – 4 = 0\)

c) \(4{x^2} – 9 = 0.\)

Bài 2: Cho parabol (P) : \(y =  – {1 \over 2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = 2x + m.\) Tính m để (d) và (P) tiếp xúc với nhau.

Bài 3: Cho phương trình : \(2{x^2} – 4x + m – 3 = 0.\)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ và thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 8.\)

Bài 4: Một ca nô chạy từ A đến B và trở về hết tất cả 3 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi đi từ A đến B, biết vận tốc lúc đi hơn lúc về là 15 km/h và đoạn sông dài 30km.

Bài 1: a) Ta có : \(\left( {{x^2} – 1} \right)\sqrt {2x – 1}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2x – 1 \ge 0 \hfill \cr  \left[ \matrix{  {x^2} – 1 = 0 \hfill \cr  2x – 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x \ge {1 \over 2} \hfill \cr  \left[ \matrix{  x = 1 \hfill \cr  x = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 1 \hfill \cr  x = {1 \over 2}. \hfill \cr}  \right.\)

b) Đặt \(t = {x^2};t \ge 0.\) Ta có phương trình :

\(25{t^2} + 21t – 4 = 0\)\(\; \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{\rm{t}} =  – 1\left( {{\text{loại}}} \right)}  \cr   {{\rm{t}} = {4 \over {25}}\left( {{\text{nhận}}} \right)}  \cr  } } \right.\)

Vậy \({x^2} = {4 \over {25}} \Leftrightarrow x =  \pm {2 \over 5}.\)

c) \(4{x^4} – 9 = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {9 \over 4} \Leftrightarrow {x^2} = {3 \over 2} \)

\(\Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{3 \over 2}}  \Leftrightarrow x =  \pm {{\sqrt 6 } \over 2}.\)

Bài 2: Phương trình hoành độ điểm chung ( nếu có) của (P) và (d) :

\( – {1 \over 2}{x^2} = 2x + m \)\(\;\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 2m = 0\left( * \right)\)

(P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow  ∆’ = 0 \Leftrightarrow  4 – 2m = 0  \Leftrightarrow  m = 2.\)

Bài 3: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ \(\Leftrightarrow   ∆’ > 0  \Leftrightarrow  10 – 2m > 0 \Leftrightarrow  m < 5.\)

Theo định lí Vi-ét, ta có : \({x_1} + {x_2} = 2;\,\,\,\,{x_1}{x_2} = {{m – 3} \over 2}\)

Khi đó : \(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 8 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – {x_1}{x_2} = 8\)

\( \Leftrightarrow 4 – {{m – 3} \over 2} = 8 \Leftrightarrow m =  – 5\) ( nhận).

Bài 4: Gọi \(x\) là vận tốc lúc đi của ca nô ( \(x > 0,\; x\) tính bằng km/h), vận tốc lúc về sẽ là \(x – 15\) ( km/h) (\( x > 15\)).

Ta có phương trình : \({{30} \over x} + {{30} \over {x – 15}} = 3 \)

\(\Rightarrow {x^2} – 35x + 150 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{\rm{x}} = 30\left( {{\text{nhận}}} \right)}  \cr   {{\rm{x}} = 5\left( {{\text{loại}}} \right)}  \cr  } } \right.\)

Vậy vận tốc lúc đi của ca nô là 30 (km/h).