Bài ôn tập chương 2 hình học 9 – Đường tròn: Bài 41,42,43 trang 128 Toán 9 tập 1

Đáp án và hướng dẫn giải bài ôn tập chương 2 Toán hình học 9 – Đường tròn: Bài 41, 42, 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1.

Bài 41 trang 128. Cho đườngtròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E,F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đườngtròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đườngtròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

a) Xét (I) và (O) có: BI + IO = BO (Do I nằm giữa B và O)
⇒ IO = BO – OI
nên (I) tiếp xúc trong với (O) (theo định nghĩa)
Xét (K) và (O) có: CK + KO = CO (Do K nừam giữa C và O)
⇒ KO = CO – CK
nên (K) tiếp xúc trong với (O) (theo định nghĩa)
Xét (I) và (K) có: IK + HK = IK (do H nằm giữa I và K)
nên (I) tiếp xúc ngoài với (K) (theo định nghĩa)

b) Có Δ ABC nội tiếp với (O) (do A;B;C ∈ (O; BC/2))

⇒AO = BO = CO = BC/2

Vậy trong ΔABC, trung tuyển OA ứng với BC bằng 1/2BC  ⇒ ΔABC vuông ở A  ⇒ ∠A = 90⁰

Xét tứ giác AFHE có:

∠E = ∠F = 90⁰ (gt)

∠A = 90⁰(cmt)

⇒ AFHE là hinh chữ nhật vì có 3 góc vuông.

c) Xét ΔAHB vuông ở H, có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

⇒AH² = AE.AB (1)

Xét ΔAHC vuông ở H, có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

AH² = AF.AC (2)

Từ (1) và (2)suy ra AE.AB = AF.AC

d) Ta có GE = GH (theo tính chất đường chéo hình chữ nhật)

⇒ ΔGEH cân tại G ⇒ ∠E₁ = ∠H₁

Ta có IE = IH = r(I)

⇒ ΔIEH cân tại I ⇒ ∠E₂ = ∠H₂

Vậy ∠E₁ + ∠E₂ = ∠H₁ + ∠H₂ = 90⁰

Hay EF ⊥ EI ⇒ EF là tiếp tuyến của (I)

Chứng minh tương tự ⇒EF cũng là tiếp tuyến của (K)

Vậy: EF là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (I) và (K)

e) Ta có EF = AH.
Vậy EF lớn nhất khi AH lớn nhất và khi đó H trùng với tâm O của đường tròn (O)

---

Bài 42 trang 128. Cho hai đgtròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M’ và AC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) ME.MO= MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến của đgtròn có đường kính BC.
d) BC là tiếp tuyến của đgtròn có đường kính là OO’

Giải: a) Vì MA và MB là các tiếp tuyến của (O) nên ⇒ MA = MB và ∠M₁ = ∠M₂
⇒ ΔAMB cân tại M, có ME là tia phân giác của ∠AMB nên ME ⊥ AB
– Tương tự, ta có MF ⊥ AC và ∠M₃ = ∠M₄

MO và MO” là các tia phân giác của hai góc kề bù nên MO ⊥ MO’.
Do vậy AEMF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b) ΔMAO vuông tại A, AE ⊥ MO nên ⇒ ME.MO = MA² (1)
Tương tự ta có MF.MO = MA² (2)
Từ (1) và (2) ME.MO = MF.MO

c) Theo câu a ta có MA = MB = MC nên đườngtròn đường kính BC có tâm là M và bán kính MA
OO MA tại A OO là tiếp tuyến của đườngtròn (M ; MA)

d) Gọi I là trung điểm của OO. Khi đó I là tâm của đườngtròn có đường kính OO với IM là bán kính
Mà IM là đường trung bình của hình thang OBCO nên IM // OB // OC.
Do đó IM ⊥ BC
Ta thấy BC IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn I.

---

Bài 43. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) cắt nhau tại A và B (R>r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O;R) và (O’;r) theo thứ tự tại C và D (Khác A).
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

a) Kẻ OM ⊥ AC và O’N ⊥ AD.
Thì M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AD. Dê thấy OMNO’ là hình thang và IA là đường trung bình nên:
AM = AN ⇒ AC = AD.

d) Dễ thấy IA = IB
⇒ IA = IK = IB
⇒ Tam giác ABK vuông tại B. Vậy KB ⊥ AB