Bài tập 34,35,36 ,37,38,39 ,40 trang 56,57 Toán 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 34. Giải các PT trùng phương:

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0;     b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0;

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

HD: a) x⁴ – 5x²+ 4 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: t² – 5t + 4 = 0; t₁ = 1, t₂ = 4

Nên: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = -2, x₄ = 2.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 2t² – 3t – 2 = 0; t₁ = 2, t₂ = -1/2 (loại)

Vậy: x₁ = √2; x₂ = -√2

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 3t² + 10t + 3 = 0; t₁ = -3(loại),

t₂ = -1/3 (loại)

PT vô nghiệm.

Bài 35. Giải các PTrình:

HD:

⇔ x² – 9 + 6 = 3x – 3x²

⇔ 4x² – 3x – 3 = 0; ∆ = 57

Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5.

(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)

⇔ 4 – x^{2 –} 3x² + 21x – 30 = 6x – 30 ⇔ 4x² – 15x – 4 = 0

∆ = 225 + 64 = 289, √∆ = 17

Điều kiện: x ≠ -1; x ≠ -2

PT tương đương: 4(x + 2) = -x² – x + 2

⇔ 4x + 8 = 2 – x² – x

⇔ x² + 5x + 6 = 0

Giải ra ta được: x₁ = -2 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên PTchỉ có một nghiệm x = -3.

Bài 36. Giải các PTrình:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0;

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

HD: a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0

=> 3x² – 5x + 1 = 0

hoặc x² – 4 = 0 => x = ±2.

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 + 2x – 1)(2x² + x – 4 – 2x + 1) = 0

⇔ (2x² + 3x – 5)(2x² – x – 3) = 0

=> 2x² + 3x – 5 = 0 hoặc 2x² – x – 3 = 0

X₁ = 1; x₂ = -2,5; x₃ = -1; x₄ = 1,5

Bài 37. GPT trùng phương:

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0;                     b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x²;

c) 0,3×4 + 1,8×2 + 1,5 = 0;              đ) 2×2 + 1 = 1/x² – 4

HD: a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 9t² – 10t + 1 = 0.

Vì a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0 nên t₁ = 1, t₂ = 1/9

Suy ra: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = -1/3 , x₄ = 1/3

b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x² ⇔ 5x⁴ + 3x² – 26 = 0.

Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 5t² + 3t -26 = 0

∆ = 9 + 4 . 5 . 26 = 529 = 23²; t₁ = 2, t₂ = -2,6 (loại). Do đó: x₁ = √2, x₂ = -√2

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0 ⇔ x⁴ + 6x² + 5 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

t² + 6t + 5 = 0, t₁ = -1 (loại), t₂ = -5 (loại)

PT vô nghiệm,

Chú ý:  Cũng có thể nhận xét rằng vế trái x⁴ + 6x² + 5 ≥ 5, còn vế phải bằng 0. Vậy PT vô nghiệm.

Điều kiện x ≠ 0

2x⁴ + 5x² – 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

2t² + 5t – 1 = 0; ∆ = 25 + 8 = 33

Bài 38 Toán 9. Giải các phương trình:

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x;

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2);

HD: a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x  ⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 – 3x

⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

∆ = 25 – 16 = 9

x₁ = -2, x₂ = -1/2

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

⇔ x³ + 2x² – x² + 6x – 9 = x³ – x² – 2x + 2 ⇔ 2x² + 8x – 11 = 0

∆’ = 16 + 22 = 38

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

⇔ 5x² – 3x + 2 = 0; ∆ = 9 – 40 = -31 < 0

PT vô nghiệm

⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

⇔ 2x² – 14x – 6 = 3x – 2x + 8

⇔ 2x² – 15x – 14 = 0; ∆ = 225 + 112 = 337

⇔ 14 = x² – 9 + x + 3

⇔ x² + x – 20 = 0, ∆ = 1 + 4 . 20 = 81

√∆ = 9

Vậy PT có hai nghiệm x₁ = -5, x₂ = 4.

Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4

PT tương đương với:

2x(x – 4) = x² – x + 8 ⇔ 2x² – 8x – x² + x – 8 = 0

⇔ x² – 7x – 8 = 0

Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên x₁ = -1, x₂ = 8

Vì x₁ = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: PTrình có một nghiệm là x = 8.

Bài 39.Giải PTrình bằng cách đưa vềPTrình tích.

a) (3x²  – 7x – 10)[2x² + (1 – √5)x + √5 – 3] = 0;

b) x³ + 3x²– 2x – 6 = 0;

c) (x²  – 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x;

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)².

Đáp án: a) (3x²  – 7x – 10)[2x² + (1 – √5)x + √5 – 3] = 0

=> hoặc (3x²  – 7x – 10) = 0                  (1)

hoặc  2x² + (1 – √5)x + √5 – 3 = 0  (2)

Giải (1): PT a – b + c = 3 + 7 – 10 = 0

nên

Giải (2): PT có a + b + c = 2 + (1 –  √5) +  √5 – 3 = 0

nên

b)  x³ + 3x²– 2x – 6 = 0 ⇔ x²(x + 3) – 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x² –  2) = 0

=> hoặc x + 3 = 0

hoặc x² –  2 = 0

Giải ra x₁ = -3,  x₂  = -√2,  x₃  = √2

c) (x²  – 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x  ⇔ (0,6x + 1)(x² – x – 1) = 0

=> hoặc 0,6x + 1 = 0        (1)

hoặc x² – x – 1 = 0            (2)

(1) ⇔ 0,6x + 1 = 0

(2): ∆ = (-1)² – 4 . 1 . (-1) = 1 + 4 = 5, √∆ = √5

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)² ⇔ (x² + 2x – 5)² – ( x² – x + 5)² = 0

⇔ (x² + 2x – 5 +  x² – x + 5)( x² + 2x – 5 – x² + x – 5) = 0

⇔ (2x² + x)(3x – 10) = 0

⇔ x(2x + 1)(3x – 10) = 0

Hoặc x = 0, x = -1/2 , x = 10/3

Vậy PTrình có 3 nghiệm:

x₁ = 0, x₂ = -1/2 , x₃ = 10/3

Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0;

b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0;

c) x – √x = 5√x + 7;

Hướng dẫn: a) Đặt t = x² + x, ta có PT 3t² – 2t  – 1 = 0. Giải PT này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x² + x, ta được một PT của ẩn x. Giải mỗi PT này sẽ tìm được giá trị của x.

HD: a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0. Đặt t = x² + x, ta có:

3t² – 2t – 1 = 0; t₁ = 1, t₂ = -1/3

Với t₁ = 1, ta có: x² + x = 1 hay x² + x – 1 = 0, ∆ = 4 + 1 = 5, √∆ = √5

PT vô nghiệm, vì ∆ = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0

Vậy PT đã cho có hai nghiệm:

b)    (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

Đặt t = x² – 4x + 2, ta có PT: t² + t – 6 = 0

Giải ra ta được t₁ = 2, t₂ = -3.

– Với t₁ = 2 ta có: x² – 4x + 2 = 2 hay x² – 4x = 0. Suy ra x₁ = 0, x₂ = 4.

– Với t₁ = -3, ta có: x² – 4x + 2 = -3 hay x² – 4x + 5 = 0.

PT này vô nghiệm vì ∆ = (-4)² – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0

Vậy PT đã cho có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 4.

c) x – √x = 5√x + 7 ⇔ x – 6√x – 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0

Ta có: t² – 6t – 7 = 0. Suy ra: t₁ = -1 (loại), t₂ = 7

Với t = 7, ta có: √x = 7. Suy ra x = 49.

Vậy PTrình đã cho có một nghiệm: x = 49

Vậy PTrình đã cho có hai nghiệm: x₁ = -5/4 , x₂ = -2/3