Giải bài 25 trang 52, bài 26,27,28 trang 53; bài 29,30,31,32,33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Chương 4 Đại số.
1. Hệ thức Vi-ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 thì:
2. Áp dụng:
Tính nhẩm nghiệm.
– Nếu PT ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c/a
– Nếu PT ax2 + bx + c = 0 có a – b + c = 0 thì PT có nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là x2 = -c/a
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 – 4P ≥ 0 thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0
Đáp án và lời giải bài Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9 tập 2 trang 52,53,54.
Bài 25. Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải PT, hãy điền vào những chỗ trống (..):
a) 2x2 – 17x + 1 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
b) 5x2 – x + 35 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
c) 8x2 – x + 1 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
d) 25x2 + 10x + 1 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
HD: a) 2x2 – 17x + 1 = 0 có a = 2, b = -17, c = 1
∆ = (-17)2 – 4 . 2 . 1 = 289 – 8 = 281
b) 5x2 – x + 35 = 0 có a = 5, b = -1, c = -35
∆ = (-1)2 – 4 . 5 . (-35) = 1 + 700 = 701
c) 8x2 – x + 1 = 0 có a = 8, b = -1, c = 1
∆ = (-1)2 – 4 . 8 . 1 = 1 – 32 = -31 < 0
PT vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.
d) 25x2 + 10x + 1 = 0 có a = 25, b = 10, c = 1
∆ = 102 – 4 . 25 . 1 = 100 – 100 = 0
Bài 26 trang 53. Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) 35x2– 37x + 2 = 0 ; b) 7x2 + 500x – 507 = 0
c) x2– 49x – 50 = 0 ; d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0
HD: a) 35x2– 37x + 2 = 0 có a = 0, b = -37, c = 2
Do đó: a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0
nên x1 = 1; x2 = 2/35
b) 7x2 + 500x – 507 = 0 có a = 7, b = 500, c = -507
Do đó: a + b + c = 7 + 500 – 507
nên x1 = 1; x2 = -507/7
c) x2– 49x – 50 = 0 có a = 1, b = -49, c = -50
Do đó a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0
Advertisements (Quảng cáo)
nên x1 = -1; x2 = – (-50/1) = 50
d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0 có a = 4321, b = 21, c = -4300
Do đó a – b + c = 4321 – 21 + (-4300) = 0
Bài 27. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a) x2 – 7x + 12 = 0; b) x2 + 7x + 12 = 0
LG: a) x2 – 7x + 12 = 0 có a = 1, b = -7, c = 12
nên x1 + x2 = -7/1
= 7 = 3 + 4
x1x2 = 12/1
= 12 = 3 . 4
Vậy x1 = 3, x2 = 4.
b) x2 + 7x + 12 = 0 có a = 1, b = 7, c = 12
nên x1 + x2 = -7/1
= -7 = -3 + (-4)
x1x2 = 12/1
= 12 = (-3) . (-4)
Vậy x1 = -3, x2 = -4.
Bài 28. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 32, uv = 231; b) u + v = -8, uv = -105;
c) u + v = 2, uv = 9
LG: a) u và v là nghiệm của phương trình: x2 – 32x + 231 = 0
∆’ = 162 – 231 = 256 – 231 = 25, √∆’ = 5 . x1 = 21, x2 = 11
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21
b) u, v là nghiệm của phương trình:
x2 + 8x – 105 = 0, ∆’ = 16 + 105 = 121, √∆’ = 11 . x = -4 + 11 = 7
x2 = -4 – 11 = -15
Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7
Advertisements (Quảng cáo)
c) Vì 22 – 4 . 9 < 0 nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.
Bài 29 trang 54 Toán 9 tập 2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) 4x2 + 2x – 5 = 0; b) 9x2 – 12x + 4 = 0;
c) 5x2 + x + 2 = 0; d) 159x2 – 2x – 1 = 0
LG: a) 4x2 + 2x – 5 = 0 có nghiệm vì a = 4, c = -5 trái dấu nhau nên
b) 9x2 – 12x + 4 = 0 có ∆’ = 36 – 36 = 0
c) 5x2+ x + 2 = 0 có ∆ = 12 – 4 . 5 . 2 = -39 < 0
PT vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.
d) 159x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì a và c trái dấu
Bài 30. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) x2– 2x + m = 0; b) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0
HD: a) PT x2– 2x + m = 0 có nghiệm khi ∆’ = 1 – m ≥ 0 hay khi m ≤ 1
Khi đó x1 + x2 = 2, x1 . x2 = m
b) PT x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có nghiệm khi
∆’ = m2 – 2m + 1 – m2 = 1 – 2m ≥ 0 hay khi m ≤ 1/2
Khi đó x1 + x2 = -2(m – 1), x1 . x2 = m2
Bài 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0; b) √3x2 – (1 – √3)x – 1 = 0
c) (2 – √3)x2 + 2√3x – (2 + √3) = 0;
d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m ≠ 1.
Đáp án: a) PT 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0
Có a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0 nên x1 = 1; x2 = 0,1/15
b) PT √3x2 – (1 – √3)x – 1 = 0
Có a – b + c = √3 + (1 – √3) + (-1) = 0 nên x1 = -1, x2 = – (-1/√3) = √3/3
c) (2 – √3)x2 + 2√3x – (2 + √3) = 0
Có a + b + c = 2 – √3 + 2√3 – (2 + √3) = 0
Nên x1 = 1, x2 = 
= -(2 + √3)2 = -7 – 4√3
d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0
Có a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0
Nên x1 = 1, x2 =
Bài 32 trang 54. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 42, uv = 441; b) u + v = -42, uv = -400;
c) u – v = 5, uv = 24.
LG: a) u + v = 42, uv = 441 => u, v là nghiệm của PT:
x2 – 42x + 441 = 0
∆’ = 212 – 441 = 441 – 441 = 0, √∆’ = 0; x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
b) u + v = -42, uv = -400, u, v là nghiệm của PT:
x2 + 42x – 400 = 0
∆’ = 441 + 400 = 841, √∆’ = 29; x1 = 8, x2 = -50. Do đó:
u = 8, v = -50 hoặc u = -50, v = 8
c) u – v = 5, uv = 24. Đặt –v = t, ta có u + t = 5, ut = -24, ta tìm được:
u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8. Do đó:
u = 8, v = 3 hoặc u = -3, t = 8.
Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x2 – 5x + 3; b) 3x2 + 8x + 2.
HD: Biến đổi vế phải: a(x – x1)(x – x2) = ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2
Vậy PT ax2+ bx + c = 0 có nghiệm là x1, x2 thì:
ax2+ bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng:
a) PT 2x2 – 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có hai nghiệm là x1 = 1, x2 = 3/2
nên:
2x2 – 5x + 3 = 2(x – 1)(x2 – 3/2) = (x – 1)(2x – 3)
b) PT 3x2 + 8x + 2 có a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2.
Nên ∆’ = 42 – 3 . 2 = 10, có hai nghiệm là:
