Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

9Bài 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 trang 82 SBT Toán Hình học 10: Biết tanα = √2. Tính giá trị của biểu thức A = (3sinα – cosα)/(sin α + cos α)

CHIA SẺ

Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ SBT Toán lớp 10. Giải bài 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 trang 82 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 2.9: Tính giá trị của biểu thức …

Bài 2.9: Biết \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {{3\sin \alpha  – \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }}\)

Do \(\tan \alpha  = \sqrt 2  > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha  < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

\(A = {{3\sin \alpha  – \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }} = 7 – 4\sqrt 2 \)

Bài 2.10: Biết \(\sin \alpha  = {2 \over 3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {{3\cot \alpha  – \tan \alpha } \over {\cot \alpha  + \tan \alpha }}\)

\({\cot ^2}\alpha  = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} – 1 = {1 \over {\left( {{2 \over 3}} \right)_{}^2}} – 1 = {5 \over 4}\)

\(\eqalign{
& B = {{\cot \alpha – \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha – {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr
& = {{\cot _{}^2\alpha – 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} – 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \)

Bài 2.11: Chứng minh rằng với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) ta có:

a) \({(\sin x + \cos x)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)

b) \({(\sin x – \cos x)^2} = 1 – 2\sin x\cos x\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

a)\(\eqalign{
& {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \cr
& = 1 + 2\sin x\cos x \cr} \)

b) \(\eqalign{
& {(\sin x – \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x – 2\sin x\cos x \cr
& = 1 – 2\sin x\cos x \cr} \)

\(\eqalign{
& c){\sin ^4}x + {\cos ^4}x \cr
& = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr} \)

Bài 2.12: Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào \(\alpha \)

a) \(A = {(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha  – \cos \alpha )^2}\)

b) \(B = {\sin ^4}\alpha  – {\cos ^4}\alpha  – 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

a) \(A = {(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha  – \cos \alpha )^2}\)

\(= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  + 1 – 2\sin \alpha \cos \alpha \)

= 2

b) \(B = {\sin ^4}\alpha  – {\cos ^4}\alpha  – 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

\( = ({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha  – {\cos ^2}\alpha ) – 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

\( = 1[{\sin ^2}\alpha (1 – {\sin ^2}\alpha ){\rm{]}} – 2{\sin ^2}\alpha  + 1 = 0\)