Thi học kì 2 môn Toán 10: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC

A.PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 2,5đ):

1. Tập nghiệm  của bất phương trình :\( – 2{x^2} + 5x + 7 \le 0\) là :

A.\(S = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {\dfrac{7}{2}; + \infty } \right)\)

B.\(\left( { – 1;\dfrac{7}{2}} \right)\)

C. \(\left[ { – 1;\dfrac{7}{2}} \right]\)

D. \(S = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {\dfrac{7}{2}; + \infty } \right)\)

2. Tập nghiệm  của bất phương trình:\(\left| {{x^2} – 3x + 4} \right| – 3x \ge {x^2}\)

A.\(S = \emptyset \)

B.\(S = \left( { – \infty ;\dfrac{2}{3}} \right]\)

C. \(S = \left[ {\dfrac{2}{3}; + \infty } \right)\)

D.\(S = \left( { – \infty ;\dfrac{2}{3}} \right)\)

Câu  3: Với giá trị nào của \(m\) thìphương trình:\(({m^2} – 4){x^2} + 5x + m = 0\) có 2 nghiệm trái dấu?

A.\(m \in \left( { – 2;2} \right)\)

B. \(m \in \left( { – \infty ; – 2} \right] \cup \left[ {0;2} \right]\)

C. \(m \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {0;2} \right)\)

D. \(m \in \left( { – 2;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

4. Cho \(\cos \alpha  = \dfrac{4}{5}\) với \( – \dfrac{\pi }{2} < \alpha  < 0\). Tính \(\sin 2\alpha \)

A.\(\sin 2\alpha  =  \pm \dfrac{3}{5}\)

B. \(\sin 2\alpha  =  – \dfrac{7}{{25}}\)

C.\(\sin \alpha  = \dfrac{{24}}{{25}}\)

D. \(\sin 2\alpha  = \dfrac{{ – 24}}{{25}}\)

5. Rút gọn biểu thức  \(A = \dfrac{{\sin \left( {a + b} \right) – \sin b.\cos a}}{{\sin a.\sin b – \cos \left( {a – b} \right)}}\) ta được:

A.\(A =  – \tan a\)

B. \(A = \tan a\)

C. \(A =  – \tan b\)

D. \(A = \tan b\)

6. Tính giá trị biểu thức  \(I = {\sin ^2}x + \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right).\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} – x} \right)\) ta được :

A. \(I =  – \dfrac{1}{4}\)             B. \(I = \dfrac{1}{4}\)

C.\(I = \dfrac{3}{4}\)                D.\(I = \dfrac{1}{2}\)

7. Cho tam giác ABC có AB = 6; AC = 8, góc A = 120⁰  .Khi đó độ dài cạnh BC bằng :

A.\(BC = 37\)                   B. \(BC = \sqrt {37} \)

C.  \(BC = 2\sqrt {37} \)          D. \(BC = 148\)

8. Cho tam giác ABC có \(AB = 7,BC = 24,AC = 23\) .DiỆn tích tam giác ABC là :

A.\(S = 16\sqrt 5 \)                    B. \(S = 36\)

C. \(S = 6\sqrt 5 \)                      D.\(S = 36\sqrt 5 \)

9. Tâm và bán kính đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 4x + 6y – 3 = 0\) là:

A. \(I\left( {2; – 3} \right),R = 4\)

B. \(I\left( { – 2;3} \right),R = 4\)

C. \(I\left( {2; – 3} \right),R = \sqrt {10} \)

D. \(I\left( { – 2;3} \right),R = \sqrt {10} \)

1.0: Tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 25\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng   \(d:5x – 12y + 67 = 0\)  là:

A.\(5x – 12y + 67 = 0\)

B.\(5x – 12y – 63 = 0\)

C. \(5x – 12y – 67 = 0\)

D.\(5x – 12y + 63 = 0\)

B PHẦN TỰ LUẬN ( 7,5đ):

1. : (2,5đ)

a) ( 1,0đ)  Giải bất phương trình :\(\dfrac{{ – {x^2} – x + 2}}{{ – {x^2} + 2x}} \le 0\)  .

b) ( 1,0đ)  Giải bất phương trình:\(\sqrt {5x + 4}  < 5x – 2\)

c) ( 0,5đ)   Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x{\left( {2 – 3x} \right)^2},0 < x < \dfrac{2}{3}\)

2. (1,0đ)

Cho đa thức \(f(x) = (3 – m){x^2} – 2(m + 3)x \)\(\,+ m + 2\) .Tìm m để bất phương trình \(f(x) \le 0\) vô nghiệm.

3. : (1,0đ)

Theo dõi thời gian đi từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày, ta có bảng số liệu sau: (đơn vị phút)

Tính tần suất, số trung bình và tìm phương sai của mẫu (chính xác đến hàng phần trăm).

4. : (0,5đ)

Chứng minh đẳng thức lượng giác: \(\dfrac{{2{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + \sin 2x – 1}}{{2\sin x – 1}} + \sin x\)\(\, = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

5. : (2,5đ)

Trong mp Oxy ,cho  3 điểm \(A\left( {1;1} \right),{\kern 1pt} B\left( {3;2} \right),{\kern 1pt} C\left( { – 1;6} \right)\)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y – 17 = 0\) .

c) Viết phương trình đường thẳng d qua A và cách đều hai điểm B và C.                (1,0đ)

A. Trắc nghiệm:

B. Tự luận:

1.

a)Giải bất phương trình :\(\dfrac{{ – {x^2} – x + 2}}{{ – {x^2} + 2x}} \le 0\)

\(\begin{array}{l} – {x^2} – x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1;x =  – 2\\ – {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2\end{array}\)

* Lập bảng xét dấu đúng :

* Bpt\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 2 \le x < 0\\1 \le x < 2\end{array} \right.\)

* Vậy tập nghiệm của Bpt là S = \(\left[ { – 2;0} \right) \cup \left[ {1;2} \right)\)

b) Giải bất phương trình:\(\sqrt {5x + 4}  < 5x – 2\)

\(\sqrt {5x + 4}  < 5x – 2\)  (1)

 (1)   \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 4 \ge 0\\5x – 2 > 0\\5x + 4 < {(5x – 2)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  – \dfrac{4}{5}\\x > \dfrac{2}{5}\\ – 25{x^2} + 25x < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  – \dfrac{4}{5}\\x > \dfrac{2}{5}\\\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\)

c/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x{\left( {2 – 3x} \right)^2},0 < x < \dfrac{2}{3}\)

\(y = \dfrac{1}{6}.6x.\left( {2 – 3x} \right)\left( {2 – 3x} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số không âm \(6x,\left( {2 – 3x} \right),\left( {2 – 3x} \right)\) ta được :

\(\begin{array}{l}6x + \left( {2 – 3x} \right) + \left( {2 – 3x} \right) \ge 3\sqrt[{^3}]{{6x.\left( {2 – 3x} \right).\left( {2 – 3x} \right)}}\\ \Leftrightarrow 6x.\left( {2 – 3x} \right).\left( {2 – 3x} \right) \le {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow y \le \dfrac{{32}}{{81}},\forall x \in \left( {0;\dfrac{2}{3}} \right)\end{array}\)

GTLN của hàm số \(\dfrac{{32}}{{81}}\) đạt được khi \(6x = \left( {2 – 3x} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{9}\)

2. Cho đa thức \(f(x) = (3 – m){x^2} – 2(m + 3)x + m + 2\) .Tìm m để bất phương

 trình \(f(x) \le 0\) vô nghiệm.

\(f(x) \le 0\) vô nghiệm\( \Leftrightarrow f(x) > 0,\forall x \)

\(\Leftrightarrow (3 – m){x^2} – 2(m + 3)x + m + 2 > 0,\forall x\quad \left( 1 \right)\)

* \(m =3\)  thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  – 12x + 5 > 0,\forall x \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{{12}},\forall x\quad \) ( vô lý)

 => m = 3 loại

* m \( \ne 3\) thì :

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 – m > 0\\{\Delta ^,} = 2{m^2} + 5m + 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\ – \dfrac{3}{2} < m <  – 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  – \dfrac{3}{2} < m <  – 1\)

Vậy \(m \in \left( { – \dfrac{3}{2}; – 1} \right)\) là giá trị cần tìm.

3. : (1,0đ)

\(\overline X  = \dfrac{{5 \times 20 + 9 \times 22 + 10 \times 24 + 7 \times 26 + 4 \times 28}}{{35}}\)\(\, = \dfrac{{832}}{{35}} \approx 23,77\)(phút)

Phương sai: \(S_x^2 = \dfrac{1}{{35}}\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}({x_i} – \overline x } {)^2} \approx 5,89\)

4. : Chứng minh đẳng thức lượng giác: \(\dfrac{{2{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + \sin 2x – 1}}{{2\sin x – 1}} + \sin x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{{2{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + \sin 2x – 1}}{{2\sin x – 1}} + \sin x\\ = \dfrac{{2\sin x.\cos x – \cos x}}{{2\sin x – 1}} + \sin x\\ = \dfrac{{\left( {2\sin x – 1} \right)\cos x}}{{2\sin x – 1}} + \sin x = \cos x + \sin x\\ = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = VP\end{array}\)

5. : (2,5đ)  Trong mp Oxy ,cho  3 điểm \(A\left( {1;1} \right),{\kern 1pt} B\left( {3;2} \right),{\kern 1pt} C\left( { – 1;6} \right)\)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { – 4;4} \right)\) là vectơ chỉ phương của BC \( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4;4} \right)\) là VTPT

Phương trình đường thẳng BC: \( \Rightarrow 4\left( {x – 3} \right) + 4\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y – 5 = 0\)

b) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y – 17 = 0\) .

Bán kính đường tròn:\(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} – 17} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\)

Phương trình đường tròn :\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4\)

c) Viết phương trình đường thẳng d qua A và cách đều hai điểm B và C.

Phương trình đương thẳng d qua A(1;1) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\quad \left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\)

\(a\left( {x – 1} \right) + b\left( {y – 1} \right) = 0\)

ycbt \( \Leftrightarrow d\left( {B,d} \right) = d\left( {C,d} \right)\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| { – 2a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = 0\end{array} \right.\)

+) TH1: \(a = b \Rightarrow d:x – y – 2 = 0\)

+) TH2: \(b = 0 \Rightarrow d:x – 1 = 0\)

KL: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.